Bonsoir tous les deux,
Un sous groupe de Sylow est distingué si et seulement si il est unique.
Alors j'ai mis un peu de temps à piger pourquoi mais je pense avoir compris... S'il est distingué il est forcément unique, car sinon il serait conjugué aux autres Sylow, donc ne serait plus distingué (ouf). Et réciproquement, s'il est distingué, supposons qu'il existe un autre Sylow : alors ce serait le même...
Ca se déuit effectivement pas trop difficilement, mais ça ne saute pas aux yeux non plus si on n'est pas au courant :briques:
Donc voici ce qu'on pourrait faire :
- On regarde le nombre de 11-Sylow. C'est 1 ou 12, je crois. Si c'est 1, c'est fini. Donc supposons que ce soit 12. On veut alors prouver qu'il y a un seul 3-Sylow ou qu'un seul 2-Sylow.
- Le nombre de 3-Sylow est 1, 4 ou 22. Si c'est 1, c'est fini. Supposons donc que ce soit 4 ou 22. Ca ne peut pas être 22 car on a fait l'hypothèse qu'il y avait déjà douze 11-Sylow, donc ça ferait bcp d'éléments pour un groupe d'ordre 132, sinon... Donc c'est qu'il y en a seulement 4.
- But : montrer qu'alors il n'y a qu'un seul 2-Sylow. Là, j'sais pas trop. J'vais ptet avoir besoin d'aide ^^
Question : pour les différents 3-Sylow et 11-Sylow, si on intersecte deux p-Sylow, on obtient bien le neutre non ?
Parce qu'alors on pourrait dire qu'il y a 120 éléments d'ordre 11, 8 d'ordre 3, et donc qu'il reste 4 éléments d'ordre "ni 3 ni 11" dans G. Et donc y a bien qu'un seul 2-Sylow dans G... ?
