P-sylow et sous-groupe de A5

par **bauzau** » 05 Jan 2007, 19:21

bonjour, mon probleme concerne le nombre de 2-sylow de A5:

on a fait la listes des p-sylow, de A5 de cardinal: |A5|=|S5|/2=5*3*2²=60

A5 ne possède pas de 2-sylow d'ordre 4 car le 4-cycle (abcd) est impair et n'appartient donc pas à A5.

On a par contre un certain nombre de 2-sylow d'ordre 2
de la forme {(ab)(cd),(ac)(bd),(ad)(bc),Id}: il y en a 5*4*3*2/(2*3) = 5

ma question est la suivante:

pourquoi les ssgpe de la forme {Id,(ab)(cd)} ne sont pas considérés comme des 2-sylow de A5 ?

par **yos** » 05 Jan 2007, 19:38

Je nage un peu. Il y a forcément des 2-Sylow dans A5 (d'ordre 4 par définition). Combien? Un nombre impair qui divise 60. Donc 1,3,5 ou 15.
Quant aux sous-groupes que tu proposes, ils sont d'ordre 2 et pas 4, donc des 2-sous groupes, mais pas des 2-Sylow.

par **yos** » 05 Jan 2007, 19:47

3,5 ou 15 2-Sylow dans A5 (1 seul ne se peut pas car A5 est simple).

par **bauzau** » 05 Jan 2007, 19:54

dans un groupe G d'ordre (p^s)*m avec p et m premier entre eux,

un p-sylow est-il forcément d'ordre p^s
ou peut-on appeler p-sylow des ssgpe de G d'ordre p^q?
(pour q appartient à {1,...,s})

par **tize** » 05 Jan 2007, 20:06

oui, un p-sylow est forcément d'ordre p^s sinon c'est juste un p-sous-groupe...
de plus avec tes notations, le nombre de p sylow divise m et est congru à 1 mod p (théorème de sylow)
donc le nombre de 2-sylow est impair et divise 15, il y en a donc 1 ou 3 ou 5 ou 15...
[EDIT] pardon Yos j'avais pas vu ton message... effectivement 1 ça ne se peut pas car les p-sylow sont conjugués et si il n'y en a qu'un il est alors distingué et comme tu l'as dis A5 est simple...

par **bauzau** » 05 Jan 2007, 20:14

ok ok,

mais je ne vois toujours pas pourquoi le nombre de 2-sylow de A5 est 5 (conclusion du prof, qui a finir le TD (trop) rapidement) et pas 15 ou 3

(ps: c bientot ton anniversaire tizz alors bon anniv!)

merci

par **bauzau** » 05 Jan 2007, 20:14

en fait je n'arrive pas a en voir un seul (de 2-sylow de A5)

par **tize** » 05 Jan 2007, 21:07

Merci,
ça ne peut pas non plus être 3 car A5 agit sur l'ensemble des 2-sous-groupes de Sylow par automorphisme intérieur, on aurait donc un morphisme de A5 dans S3 qui est forcément injectif (sinon son noyau serait un sous groupe distingué de A5 mais A5 est simple...) et donc A5 isomorphe à un sous groupe de S3, c'est absurde puisque |A5|=60 et |S3|=6...
Reste à montrer que le nombre de 2-Sylow ne peut être 15...on s'approche !

par **yos** » 05 Jan 2007, 21:11

Tu peux les exhiber.
Il y a pas d'éléments d'ordre 4 dans A5 donc les 2-Sylow sont des groupes de Klein (identité + 3 "symétries"):
{Id, (ab)(cd), (ac)(bd), (ad)(bc)} et quatre autres du même tonneau.
Il est facile de voir qu'on peut pas en trouver d'autres.

par **tize** » 05 Jan 2007, 21:19

yos a écrit:Tu peux les exhiber.
Il y a pas d'éléments d'ordre 4 dans A5 donc les 2-Sylow sont des groupes de Klein (identité + 3 "symétries"):
{Id, (ab)(cd), (ac)(bd), (ad)(bc)} et quatre autres du même tonneau.
Il est facile de voir qu'on peut pas en trouver d'autres.

Bien vu :we: pourquoi faire compliqué quand on peut faire faire simple...

par **bauzau** » 06 Jan 2007, 01:28

donc les 5 2-sylow sont d'ordre 2 et de la forme

{(ab)(cd),(ac)(bd),(ad)(bc),Id}

ok merci pour vous tous

par **yos** » 06 Jan 2007, 11:35

bauzau a écrit:donc les 5 2-sylow sont d'ordre 2 et de la forme

{(ab)(cd),(ac)(bd),(ad)(bc),Id}

d'ordre 4 ...

par **bauzau** » 06 Jan 2007, 11:44

euh oui en fait

P-sylow et sous-groupe de A5

p-sylow et sous-groupe de A5

Qui est en ligne