Sylow

par **simplet** » 13 Sep 2006, 13:23

Déjà boonnjouurr à touus, et j'espère que vos vacances furent sympatiques.
Pour fêter nos retrouvailles je vous propose une petite question tirée d'une démonstration de Sylow. Voici l'énoncé du théorème:

Soient G un groupe fini, p un nombre premier qui divise lordre de G ( card(G)= p^r . m, m premier à p). On rappelle quun p-Sylow de G est un sous-groupe de G dordre p^r. Alors avec ces hypothèses il existe des p-Sylow dans G.

L'idée est de faire une récurrence sur l'ordre de G. (D'apres ce que j'ai compris, à r fixé on suppose l'hypothèse vraie pour
A un moment on suppose que G n'a pas de sous-groupe d'ordre divisible par p^r. On trouve que le centre Z(G) possède un sous-groupe H d'ordre p (H est distinué dans G). Le groupe G/H existe et a pour ordre p^(r-1).m .

Voila où ca coince: il est dit juste après " d'après l'hypothèse de récurrence G/H aura alors un sous-groupe d'ordre p^(r-1) "

MMAAIISS je ne vois pas l'application directe de la recurrence llàààà

(merci pour vos réponses)

par **yos** » 13 Sep 2006, 14:31

Eh ben... il n'y a qu'à faire la récurrence sur r plutôt que m non?
Je n'ai pas regardé les détails mais ce qui gêne dans la récurrence sur m, c'est le fait que m doit être étranger à p, et donc l'ensemble des m n'est pas formé d'entiers consécutifs.

par **abcd22** » 13 Sep 2006, 14:32

Bonjour !
Je pense que tu te trompes d'hypothèse de récurrence en fait, on suppose que tout groupe de cardinal < Card(G) a un p-Sylow, sans supposer r fixé.

par **simplet** » 13 Sep 2006, 20:48

la démonstration je l'ai trouvée sur Wikipédia (si vous voulez jeter un coup d'oeil).
Pour répondre à yos, j'y ai pensé aussi mais préalablement on se sert (une première fois) de l'hypothèse de récurrence sur m justement. Je vois donc difficilement faire les deux hypothèses!!
Abcd22 ce que tu dis me parait pas mal, j'y réfléchirait demain!
mercii
(si qqlun d'autre a des idées..)

par **simplet** » 14 Sep 2006, 08:32

abcd22... j'ai finallement du mal avec card(G)< ... par exemple card(G)-1 ne s'écrit pas forcément de la forme p^n.m ... ni card(G)+1 d'ailleurs si on par dans ce sens...

par **abcd22** » 14 Sep 2006, 11:47

Si le cardinal d'un groupe H n'est pas divisble par p, on a

, il existe un p-Sylow qui est {e}, donc ça ne pose pas de problème pour l'hypothèse de récurrence.

par **simplet** » 14 Sep 2006, 13:44

Je dois avouer que ca me chiffonne... faire une récurrence n->n+1 où n est de la forme p^r.m ... ca ne me parait pas compatible... (non?!)

Juste avant ces démonstration de Sylow j'ai fait une démonstration du Lemme de Sylow qui lui faisait une récurrence sur m (à r fixé), qu'est-ce que ca change si r n'est pas fixé?? il faut des conditions en plus??

Je dois avouer que ca me surprend un peu comme facon de faire...

par **abcd22** » 14 Sep 2006, 17:52

L'hypothèse de récurrence ne dit pas « le théorème est vrai pour tout groupe de cardinal Card G - 1 » mais « le théorème est vrai pour tout groupe de cardinal < Card G », c'est différent ! On fait une récurrence forte ici.

par **simplet** » 14 Sep 2006, 20:27

Est-ce que tu pourrait me donner un lien qui démontre la véracité d'une récurrence forte stp?? Je crois que ca m'aiderait à mpe convaincre moi-même.

en tout cas merci pour tout

par **abcd22** » 14 Sep 2006, 20:56

Je n'ai pas de lien sous la main, mais la démonstration est la même que pour la récurrence habituelle : si on a « P(n) est vraie pour tout

) est vraie », et que P(0) est vraie, on considère l'ensemble

, s'il est non vide il a un plus petit élément

, mais comme

est vraie,

est vraie. Ca m'étonne que tu n'aies encore jamais vu ça.

par **simplet** » 15 Sep 2006, 18:17

mercii (et non je n'ai jms vu de recurrence forte avant)

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