P sous groupe de sylow dans A5

[calodie]

bonjour,
j aurais besoin d un coup de main pour résoudre cet exercice svp...

1) existe t il un sous groupe d ordre 30 dans A5?

2) a) combien A5 possède t il d éléments d ordre 5?
b) de 5 sous groupes de sylow?

3) a) d éléments d ordre 3?
b) de 3 sous groupes de sylow?

4) soit H un sous groupe de sylow de A5.
a) montrer que H n est pas cyclique.
b) combien A5 possède t il de sous groupes d ordre 2?
c) de 2 ss groupes de sylow?

5) combien A5 possède t il d éléments d ordre 12?

pour le moment j ai juste trouvé les 5 ss groupes de sylow.
je vous remercie d avance
cordialement

[yos]

1) Non, il serait distingué et donc contiendrait des classes de conjugaisons en entier, or celles-ci ont 1, 15, 20, 12 et 12 éléments respectivement (il doit y avoir un argument plus simple).

2)a) Ce ne peut être que des 5-cycles.

3)a) Ce ne peut être que des 3-cycles.

etc.

[ThSQ]

1) Un tel groupe serait distingué et A_n brille par sa simplicité.

2) regarde la décomposition en cycles disjoints. C'est forcément des 5-cycles.

....



Edit: grillé par yos

[ThSQ]

pour le moment j ai juste trouvé les 5 ss groupes de sylow.

Combien tu en trouves ? (6 ?)