Résultats de Sylow

[simplet]

Bonjour, j'essaie de démontrer les résultats de Sylow mais je coince à quelques endroits...

HYPOTHESES
On considère un nombre premier p, et un groupe G d'ordre m.p^n où m est premier à p.
Soit Z le centre de G .

TOUT DEBUT DE LA DEMONSTRATION
Si Z est divisible par p alors Z contient un sous-groupe cyclique d'ordre p, appelons le D.

Je sais que si D est un sous-groupe de Z alors l'ordre de D divise l'ordre de Z. Mais en quoi cette "réciproque" est vraie? C'est un résultat général ou le fait que Z soit le centre de G y est pour quelque chose? On pourrait me la démontrer rapidement svp??

[abcd22]

Je suppose que tu veux dire « si l'ordre de Z est divisible par p... »
Ca vient d'un résultat sur les groupes abéliens finis : Si G est un groupe abélien fini et p divise le cardinal de G (p premier), alors il existe un élément de G d'ordre p.

Si , p ne divisant pas m, on peut faire une démonstration par récurrence (forte) sur m (à r fixé).
Si m = 1, soit , l'ordre de est égal à , et est d'ordre .
Si le résultat est vrai pour tout , soit .
- si p divise l'ordre de x (noté [x]), est un élément d'ordre p de G.
- si p ne divise pas l'ordre de x, soit H le sous-groupe de G engendré par x. Comme G est abélien, H est distingué dans G, et G/H est un groupe abélien de cardinal , par hypothèse de récurrence il existe un élément d'ordre p dans G/H, autrement dit il existe un élément tel que , donc par le théorème de Lagrange, . De plus , car si c'était le cas, on aurait et , et comme p et [x] sont premiers entre eux, par Bezout on obtiendrait . On a dont trouvé un élément d'ordre p de G.

[yos]

L'existence d'un élément d'ordre p constitue le théorème de Cauchy et est un préalable aux théorèmes de Sylow.

[simplet]

Je n'ai pas bien compris la récurrence:

Il faut montrer que si le résultat est vrai pour nn. c'est ca??

Et dans ta récurrence tu ne fait jamais apparaître n ...

[simplet]

Je n'ai également pas compris le point suivant:

...il existe un élément d'ordre p dans G/H, autrement dit il existe un élément tel que , donc par le théorème de Lagrange, .

Voila ce que j'ai compris:
il existe un élément d'ordre p dans G/H, autrement dit un sous-groupe de G cyclique (car p premier) d'ordre p, donc il existe un y dans G-H d'ordre p qui engendre ce sous-groupe cyclique [jusque là c'est bon?].

[simplet]

[quote="abcd22"] G/H est un groupe abélien de cardinal


Je trouve bizzare de dire que G/H est un groupe abélien, puisque les éléments de G/H sont des sous-ensembles de G...

[simplet]

G/H est un groupe abélien de cardinal

Les éléments de G/H sont des sous-ensembles de G, je ne comprends pas le terme "abélien " ici, qu'est-ce qui commutent?? les sous-ensembles?

il existe un élément d'ordre p dans G/H, autrement dit il existe un élément tel que

A peu près la même question. un sous-ensemble d'ordre p?
ce serait plutot un sous-groupe d'ordre p, mais les élements de G/H ne sont pas des sous-groupes de G (hormis H).


merci

[simplet]

autrement dit il existe un élément tel que , donc par le théorème de Lagrange, .

Moi j'aurais dit " il existe y dans G-H tel que " , je ne comprends pas ton ...

merci

[abcd22]

Si on note la classe de y dans G/H, est d'ordre p dans G/H signifie . G/H est un ensemble de classes d'équivalences et son neutre est H (la classe de ), si on a , ça veut dire que , mais pas forcément .

[simplet]

mais oui!!
et est-ce que tu peux lire le message qui était juste au dessus a propos de ta recurrence stp...(mercii)

[abcd22]

En fait je fais une récurrence sur m, avec , on suppose le résultat vrai pour les groupes abéliens H tels que avec m'<m, comme le cardinal de est , donc , on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à G/H.
On pourrait aussi dire qu'on fait la récurrence sur le cardinal de G, avec l'hypothèse que p divise le cardinal du groupe, ça revient au même, j'ai dit que je faisais la récurrence sur m parce que la puissance de p dans le cardinal du quotient est la même que dans le cardinal de G.

[simplet]

par le théorème de Lagrange, .

je ne vois pas le rapport entre le théorème de Lagrange (l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe en question) et le fait que (a^p)^q=(a^q)^p qui est tout le temps vrai non???
_______________________________
Et aussi, je n'arrive pas à démontrer que si et si alors forcément ...? Par exemple on ne pourrais pas avoir , et p.[x] soit l'ordre de y ?

[abcd22]

C'est pour le « =1 » qu'on utilise le théorème de Lagrange (qui permet aussi de dire que l'ordre d'un élément d'un groupe divise l'ordre du groupe), on dit que car et , l'autre égalité sert juste à en déduire que est d'ordre p.

[abcd22]

Comme , l'ordre de divise p, c'est donc 1 ou p, pour montrer que l'ordre est p il suffit de montrer que , on le fait par l'absurde en disant que si , comme on a choisi y tel que (mais ), on aurait aussi par Bezout.

[simplet]

AAhh voila, ce n'est pas y qui est d'ordre p, c'est y^[x] !!

Et ce n'est pas parce que la classe de y était d'ordre p que y l'est aussi!! (par hasard il n'y aurait pas un petit résultat qui controlerait ca?? :-)


désolé d'avoir monopolisé ta journée :-)

merci beaucoup

[abcd22]

Et ce n'est pas parce que la classe de y était d'ordre p que y l'est aussi!! (par hasard il n'y aurait pas un petit résultat qui controlerait ca??

On peut dire que si la classe de y est d'ordre p dans G/H et que H est de cardinal n, l'ordre de y dans G divise , mais ça m'étonnerait qu'il y ait un résultat général plus précis (si H est cyclique et est un générateur de H, l'ordre de y sera exactement , si l'ordre est p, en prenant par exemple pour G et H des groupes formés de racines de l'unité dans [#] on doit pouvoir trouver des exemples pour ces deux cas).

désolé d'avoir monopolisé ta journée

merci beaucoup

de rien !

[#] On peut même prendre tout le cercle unité de pour G, il suffit que H soit fini et que la classe de y soit d'ordre fini dans G/H pour que la propriété sur l'ordre de y soit vraie.