DM sur les sous-groupes de R

[alexis0788]

Bonjour j'ai un DM à rendre pour dans une semaine et je ne comprends pas comment le résoudre.
Voici l'énoncé:

1/Soit a€R. on pose aZ={an|n€Z}. Montrer que aZ est un sous-groupe de R.

2/Soient G un sous-groupe additif de R non réduit à {0}, et a=inf{x€G|x>0}.
On suppose dans cette question que a différent de 0.
a/ Montrer que a€G et que aZ inclu dans G.
Indication: par l'absurde, supposer que a€pas a G, en utilisant la définition de la borne inférieure, montrer qu'il exite h,h'>0 dans G tels que: aEn déduire que h-h'€G et que: 0 b/ Dans cette question, on veut montrer que:G inclu dans aZ.
Soit x€G, et n la partie entière de x/a. Montrer que 0<=x-naEn déduire que x=na et que G Inclus ou égal à aZ.(utilise la définition de la partie entière).

3/Déduire des questions précédentes que lorsque a différent de 0 on a G=aZ.
Dans ce cas on dit que G est un sous-groupe discret de R.

4/ L'objet de cette question est de montrer que si a=0 alors tout intervalle de R non réduit à un point contient au moins un élément de G.

Soit b€R,e>0,et I=]b-e,b+e[.
a/Montrer qu'il existe x€G tel que 0 b/Notons n la partie entière de b/x.Montrer que nx€I et nx€G.
Indication:utiliser la définier de la partie entière de b/x.
c/Conclure.
Dans ce cas on dit que G est un sous-groupe dense de R.

5/Montrer que G={x+y*sqrt(2)|x,y €Z²} est un sous-groupe de R.
Est-il discret ou dense?


Merci à vous ne serait-ce que de m'indiquer des éléments de réponse ou seulement une petite partie du DM.

[Alpha]

Salut, qu'as-tu fait? Rien?

La question 1 est très facile, suffit de connaître son cours (définition d'un sous-groupe).

Ensuite, les indications me semblent faciliter grandement les choses... Revois peut-être la définition d'une borne inférieure, ça devrait t'aider...

La question 5 est une application des résultats prouvés précédemment, ie que tout sous-groupe additif de R est soit de la forme aZ, soit dense dans R. Regarde donc si ce sous-groupe peut ou non se mettre sous la forme aZ. Indication : raisonner par l'absurde.

Cordialement,

Alpha

PS : si tu as d'autres questions, dis-nous d'abord ce que tu es arrivé à faire et où tu bloques précisément.

[SimonB]

Comme Alpha l'indique, je ne résoudrai pas ton DM en entier, il est clair que plusieurs points se font directement en connaissant le cours et les définitions. Je fais juste quelques remarques de bon sens :

2/Soient G un sous-groupe additif de R non réduit à {0}, et a=inf{x€G|x>0}.
On suppose dans cette question que a différent de 0.
a/ Montrer que a€G et que aZ inclu dans G.
Indication: par l'absurde, supposer que a€pas a G, en utilisant la définition de la borne inférieure, montrer qu'il exite h,h'>0 dans G tels que: a<h<2a et a<h'<h.
En déduire que h-h'€G et que: 0<h-h'<a.Conclure.

Normalement, tu devrais comprendre ce que doit être la conclusion (en utilisant la définition de a, et le fait que h-h' appartient à G), même si tu n'as pas réussi toute la technique qui précède.

5/Montrer que G={x+y*sqrt(2)|x,y €Z²} est un sous-groupe de R.
Est-il discret ou dense?

Application directe du résultat : tu supposes que G est discret et tu montres qu'alors est rationnel, ce qui est impossible.

[alexis0788]

Bonjour et merci a vous deux de m'avoir aidé c'est vraiment sympa.
Je suis arrivé à faire les questions 1,2,3 et 4 mais je bloque sur la 5 même avec l'indice donné...
Merci de me donner plus de détails.

[SimonB]

Si G est discret, il s'écrit avec .

Alors, tu écris 1 et en fonction de ce fait. Et tu en déduis que...

[alexis0788]

Ok merci j'ai reussi la question mais j'ai réalisé entre temps que la question 4/b/ me pose problème je ne comprends pas bien où il faut arriver.
J'ai commencé à encadre b/x avec n sa partie entière:
n