Sous-groupes et groupes

[Pseuda]

Bonjour,

Je ne retrouve plus le message récent de chombier (reprenant un message de Ben314) où il disait que si A est un anneau, tout sous-anneau A' de A est aussi un anneau pour les mêmes lois, mais que la réciproque n'est pas vraie : tout anneau A' inclus dans A n'est pas forcément un sous-anneau de A (à cause du neutre de A' qui peut être différent du neutre de A).

Il me semble qu'il se passe simplement la même chose pour les groupes. Si G est un groupe, tout sous-groupe G' de G pour la même loi est aussi un groupe, mais qu'un groupe G' inclus dans G n'est pas forcément un sous-groupe de G (son neutre peut être différent, ainsi que ses symétriques : du coup le symétrique d'un élément de G' dans G' n'est pas forcément le même que son symétrique dans G).

Si chombier repasse par là, ou si quelqu'un peut confirmer cette affirmation ?

[Kolis]

Bonjour !
Tu oublies que dans un anneau il peut y avoir des éléments non réguliers pour la multiplication (existence de diviseurs de 0) il n'en est pas de même dans les groupes où on peut toujours simplifier à droite ou à gauche.

Bref si sont les neutres de , pour tu as .
Mais donc puis etc...

[Pseuda]

Merci ! Oui, je m'en suis rendue compte entre-temps.

[Arbre]

Bonjour,

Y a un truc marrant à faire c'est de transformer la loi par transport, prend par exemple f affine et tu transformes en , ici les 2 groupes sont carrément identique (en tant qu'ensemble), mais pas les même par leurs lci.

Par exemple est la multiplication transportée à l'aide d'une fonction homographique, ce qui est bien c'est qu'il y a, alors, 2 éléments absorbants (l'image de 0 et )

[chombier]

Salut,
J'ai du mal à voir quelle est la fonction f.
Si c'est une bijection, on devrait trouver un groupe isomorphe au groupe de départ.

Il n'y a pas d'éléments absorbants dans un groupe puisque tous les éléments sont simplifiables.

[chombier]

Bonjour,

Je ne retrouve plus le message récent de chombier (reprenant un message de Ben314) où il disait que si A est un anneau, tout sous-anneau A' de A est aussi un anneau pour les mêmes lois, mais que la réciproque n'est pas vraie : tout anneau A' inclus dans A n'est pas forcément un sous-anneau de A (à cause du neutre de A' qui peut être différent du neutre de A).

Il me semble qu'il se passe simplement la même chose pour les groupes. Si G est un groupe, tout sous-groupe G' de G pour la même loi est aussi un groupe, mais qu'un groupe G' inclus dans G n'est pas forcément un sous-groupe de G (son neutre peut être différent, ainsi que ses symétriques : du coup le symétrique d'un élément de G' dans G' n'est pas forcément le même que son symétrique dans G).

Si chombier repasse par là, ou si quelqu'un peut confirmer cette affirmation ?

Voici le thread en question : superieur/sous-groupe-t164517.html

Attention : pour moi un anneau est toujours unitaire. Pas pour Ben (qu'est-ce qu'il deviens d'ailleurs ?)

Il est en effet possible qu'un sous ensemble d'un anneau A soit un anneau mais ne soit pas un sous-anneau de A.

[Pseuda]

Bonjour chombier,

Pour moi aussi un anneau est toujours unitaire (ou unifère), et j'avais remarqué aussi que ce ne l'était pas pour Ben. Dans les livres de maths, j'ai vu les deux définitions.

Je trouve que cela simplifie, on ne se pose pas la question, ce n'est pas une nouvelle notion. Par exemple, un sous-anneau contient toujours l'élément unité.

Mais pour que cette distinction existe, c'est qu'il doit exister des strutures qui ont toutes les propriétés des anneaux sans l'élément neutre de la 2ème loi (exemple ?).

En 2 ans que je suis sur ce forum, j'ai remarqué que Ben314 disparaissait vers avril-mai pour réapparaître à l'automne. Espérons que cela soit confirmé cette année encore !

[chombier]

J'ai vu les deux dans les livres aussi. Dans le Gourdon, un anneau n'est pas unifère par défaut. Il faut le spécifier.

Ca a un petit avantage : le fait qu'un idéal d'un anneau ne soit pas en général un sous-anneau est je trouve assez perturbant. On fait le parallèle avec un sous-groupe distingué car cela permet de quotienter, mais un sous-groupe distingué est un sous-groupe particulier.

Si on enlève cette caractéristique aux anneaux, et qu'on ne leur impose plus d'avoir un neutre pour le produit, alors tout idéal est un sous-anneau, un idéal est un sous-anneau particulier. C'est plus cohérent, c'est même plus propre, quelque part.

Après, je vais quand même rester du côté de la majorité et considérer que sauf indication contraire, un anneau est toujours unifère. Et qu'une structure ayant toutes les caractéristiques d'un anneau sauf l'élément neutre pour le produit est un pseudo-anneau.

[chombier]

Mais pour que cette distinction existe, c'est qu'il doit exister des strutures qui ont toutes les propriétés des anneaux sans l'élément neutre de la 2ème loi (exemple ?).

est un pseudo-anneau. Il a tout d'un anneau si ce n'est qu'il n'a pas d'élément neutre pour la multiplication.

[Arbre]

Salut,

Il n'y a pas d'éléments absorbants dans un groupe puisque tous les éléments sont simplifiables.

est un corps et à 2 éléments absorbants (un apparent et l'autre plus caché) on les récupère tout les 2 à l'aide d'une homographie.

[chombier]

est un corps et à 2 éléments absorbants (un apparent et l'autre plus caché) on les récupère tout les 2 à l'aide d'une homographie

dans ?

Tu veux parler de la droite achevée ?

Mais n'est pas un groupe. n'est pas un corps.

Bref,

Parlons des éléments absorbants.
Dans un magma, une des propriétés d'un élément absorbant est d'être unique.

preuve : Supposons que dans un magma , et soient absorbants. Alors :
est absorbant donc
est absorbant donc
donc

Si 0 et sont absorbants alors

Bref...

[Arbre]

Parlons des éléments absorbants.
Dans un magma, une des propriétés d'un élément absorbant est d'être unique.

Non, est une loi associative sur (vérifie) avec 2 éléments absorbants, et , d'élément unifére , l'inverse de étant .
Mais effectivement n'est pas définie comme
Je parle du compactifier d'Alexandrof (le cercle).

[Pseuda]

J'ai vu les deux dans les livres aussi. Dans le Gourdon, un anneau n'est pas unifère par défaut. Il faut le spécifier.

Ca a un petit avantage : le fait qu'un idéal d'un anneau ne soit pas en général un sous-anneau est je trouve assez perturbant. On fait le parallèle avec un sous-groupe distingué car cela permet de quotienter, mais un sous-groupe distingué est un sous-groupe particulier.

Si on enlève cette caractéristique aux anneaux, et qu'on ne leur impose plus d'avoir un neutre pour le produit, alors tout idéal est un sous-anneau, un idéal est un sous-anneau particulier. C'est plus cohérent, c'est même plus propre, quelque part.

Après, je vais quand même rester du côté de la majorité et considérer que sauf indication contraire, un anneau est toujours unifère. Et qu'une structure ayant toutes les caractéristiques d'un anneau sauf l'élément neutre pour le produit est un pseudo-anneau.

Bonjour,

Entre les anneaux (pseudo-anneaux) et les corps, il y a : l'élément neutre (anneau unitaire), tout élément est régulier (anneau intègre), tout élément est inversible (corps).

Perso, cela ne me perturbe pas que les idéaux ne soient pas des sous-anneaux. Sans l'élément neutre, les idéaux deviennent en effet des sous-anneaux. Mais pour moi, l'intérêt premier des idéaux est de ne pas posséder l'élément neutre (sinon ils deviennent l'anneau tout entier).

Par contre, je trouve quand même assez perturbant que des anneaux inclus dans d'autres, n'en soient pas des sous-anneaux. Mais en effet, l'exemple donné par Ben est imparable. Cette incohérence saute si les anneaux n'ont pas d'élément neutre : tous les anneaux inclus sont des sous-anneaux. Donc pour cette raison, je trouverais aussi cela plus cohérent. Bref, le tout est de s'entendre sur les définitions, je trouve cela dommage qu'il y en ait des différentes selon les livres.

[Skullkid]

Bonsoir, un exemple du même type qui fait intervenir des groupes (mais pas que) : si on se donne un anneau A, il peut exister des sous-ensembles de A qui sont des groupes pour la loi multiplicative de A, mais qui ne sont pas des sous-groupes du groupe des inversibles de A. La subtilité est la même que pour l'histoire des sous-anneaux : le neutre multiplicatif du groupe en question n'est pas le neutre multiplicatif de A. Par exemple chez les applications linéaires, {p,-p} est un groupe pour la composition si p est un projecteur.