[MPSI] DM sur les groupes de cardinal 6

[Briciol]

Bonjour,

J'aimerais de l'aide pour cette exercice sur les groupes,j'arrive à voir et à bidouiller pour trouver ce qu'il se passe le plus souvent mais j'aimerais que quelqu'un me présente si possible la rédaction à suivre pour ces questions... Merci d'avance !

Nous allons dans cet exercice déterminer tous les groupes de cardinal 6. Soit donc G un tel groupe.

1) Montrez que si G admet un élément d'ordre 6 alors G est isomorphe à U6
> Comment suis-je censé démontrer rigoureusement l'isomorphisme ?

On suppose désormais qu'aucun élément de G n'est d'ordre 6.

2) On suppose que G admet un élément x d'ordre 3, on note H= et qu'il existe y n'appartenant pas à H d'ordre 3, on note K=.
M.q. H inter K = {e}. Quel est le cardinal de H union K ?
> J'ai fait cette question par l'absurde, je trouve que le cardinal est de 5...

3) En déduire que les éléments de G\{e} ne peuvent pas être tous d'ordre 3 et que G admet donc un élément x d'ordre 2.
> On peut hypothétiser deux groupes de cardinal 3. On a alors 5éléments de G. Si on prend le 6éme élément de G, il ne peut rester seul ni engendrer un groupe de cardinal 3 d'apres ce que l'on a vu ci-dessus. J'aimerais que l'on m'aide à formaliser cette preuve.

4) On note H=. On suppose que tous les éléments de G\H sont d'ordre 2. Soit z n'appartenant pas à H et K = . Montrer que xz est d'ordre 2, que xz=zx et en déduire que K est un sous groupe de G de cardinal 4. En déduire qu'il existe y appartenant à G\H d'ordre 3.
> Là je suis totalement perdu... Surtout pour l'égalité...

5) Montrer que G={e,x,y,y²,xy,xy²}
6) Montrer que yx=xy ou xy=xy²
7) Montrer que si yx=xy alors xy est d'ordre 6, conclusion ?
> Car on a un deuxième groupe de cardinal 6 non isomorphe à U6... ?

8) En déduire qu'il existe (à isomorphisme pres) exactement deux groupes de cardinal 6
>??

[Ben314]

Salut,

1) Il n'y a quasi rien à dire : si G contient un x d'ordre 6 alors, par définition de l'ordre d'un élément, est un groupe cyclique d'ordre 6 qui, comme il est contenu dans G et de même cardinal que G ne peut évidement être que G tout entier.

2) Semble O.K.

3) Il n'y a de nouveau pas grand chose à écrire : si l'élément z qui reste était d'ordre 3 on devrait avoir n={e} et n={e} ce qui est absurde vu que z² doit bien être quelque part !

A partir du 4) l'énoncé déconne complet : rien ne permet de dire que le groupe engendré par est distingué donc on ne peut pas parler de l'ordre des élément du quotient G/ vu que ce dernier risque de ne pas être un groupe.

[Briciol]

Pardon ce n'est pas G/H mais G\H... J'édite.

Merci pour le reste !

[Ben314]

Dans ce cas :
4) Pour montrer que xz est d'ordre 2, vu l'hypothèse, il suffit de montrer qu'il n'est pas dans H, ce qui est assez trivial !
Ensuite, vu que x,z et xz sont d'ordre 2, on a (xz)²=e=ee=x²z² donc... (c'est un "classique")
Pour la fin, tu utilise évidement le fait que l'ordre d'un sous groupe doit diviser l'ordre du groupe.

5) Bon, déjà, comme y est d'ordre 3, les trois éléments e,y,y² sont distincts et cela montre (en multipliant/divisant par x à gauche) que x,xy,xy² sont distincts.
Reste à montrer qu'un des trois xy^i ne peut pas être égal à un des trois y^j pour en déduire que les 6 éléments sont distincts...

6) Il y a une faute de frappe : il faut montrer que "yx=xy ou yx=xy²".
C'est trés simple par élimination : forcément, yx est l'un des eléments de G donc vaut e ou y ou y² ou x ou xy ou xy².
Peut on avoir yx=y^i ? Peut on avoir yx=x ?

7) Si yx=xy alors quel est l'ordre de xy ?

8) C'est clair vu ce qu'on a démontré (à la limite, il faudrait peut être montrer que le cas non commutatif est possible : c'est en fait "le groupe diédral d'ordre 6" qui correspond à l'ensemble des isométries qui préservent un triangle équilatéral)

[Briciol]

1) Soit G un groupe d'ordre 6
Soit x € G / = 6
Donc est un groupe cyclique d'ordre 6
comme est inclut dans G et de même cardinal que G
Alors = G
(G est un groupe de cardinal 6 mongène)
G est donc isomorphe à U6

3) card(HuK) = 5, card(G)=6 et HuK est inclus dans G
Donc il existe un unique c / c€G et c n'appartient pas à HUK
M.q. =/= 3
On suppose =3
Soit = {c,e, c^(-1)}
est inclut dans G
Donc c-1 € G
n={e}
n={e}
Et HuKu{c}=G
Donc c-1=c
Donc c=e
Ce qui est absurde car c n'appartient pas à HuK (et =3)

Donc =/= 3
Donc les éléments de G\{e} ne sont pas tous d'ordre 3
Donc il existe un élément c de G / = 2 (théorème de Lagrange à utiliser pour expliquer que si ce n'est ni de cardinal 2 ni de cardinal 3...)

4)
* On sait que tous les groupes de G\H sont d'ordre 2
M.q. n'appartient pas à H
= H
Donc x-1 € H
On suppose que appartient à H
Or x-1 € H
Donc x-1 * xz € H
Soit z € H
Absurde par présupposées
Donc xz n'appartient pas à H
Donc n'appartient pas à H
Donc = 2

*=e
Donc xz = {e, xz}
Donc (xz)²= e = ee = x²z²
( je ne comprends pas comment on obtient la dernière égalité..)
Donc x*z*x*z=x*x*z*z
Donc le groupe est commutatif
Donc xz=zx


* K=

Et est inclu dans K
Or est de cardinal 2
Donc K est de cardinal 2k avec k € Z

Or w et z € G
Donc K est inclut dans G
Donc card(K) < card (G)
Donc 2k < 6
Donc k< 3

k =/= 1 sinon card (K)=2 or x,z,e au moins € K
Donc k =2
Card (K) = 4

* K ne peut pas exister car card(k) ne divise pas card(G) donc tous les éléments de G/H ne sont pas d'ordre deux, donc il en existe un d'ordre 3 (... ?)

5) est d'ordre 3 donc = {e,y,y²} / e=/= y =/= y²
Soit x =/= y donc G contient x,xy et xy²
On obtient 6 éléments, il n'y en a pas plus car G est de cardinal 6
"Reste à montrer qu'un des trois xy^i ne peut pas être égal à un des trois y^j pour en déduire que les 6 éléments sont distincts..."
> Je n'ai pas compris cette phrase

[Briciol]

Il ne me reste que la question 6 !

Merci beaucoup Ben314 =)

[benekire2]

Il ne me reste que la question 6 !

Bah, Ben a tout dit , non ? :lol3:

[Briciol]

Pardon la 7 --'

[Ben314]

Pour la 7), on peut faire vite fait la théorie pour montrer que, dans un groupe commutatif, xi x est d'ordre a et y d'ordre b avec pgcd(a,b)=1 alors xy est d'ordre ab.

Ou bien... calculer simplement (xy)², (xy)^3, (xy)^4 ... jusqu'à ce qu'on trouve 1 (vu qu'il n'y a que 6 éléments et qu'on les connait bien, ça devrait pas être bien long...)