Suites MPSI

[Anonyme]

Bonjour et bonne année à tous!

soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n >=1
U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)

Je dois précisier U(n) en fonction de U(1) et n
Je dois utiliser les sommations et je suis coincé...
Si qqun pouvait me donner une piste de départ...merci d'avance!
Loic

[Anonyme]

Didier DAMET a écrit:
> Bonjour et bonne année à tous!
>
> soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n >=1
> U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)
>
> Je dois précisier U(n) en fonction de U(1) et n
> Je dois utiliser les sommations et je suis coincé...
> Si qqun pouvait me donner une piste de départ...merci d'avance!
> Loic

euh pourquoi as tu écrit U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1) ? confirmes tu
que c'est cela ? (parce que il y a comme une simplification...)

--
albert

[Anonyme]

Didier DAMET a écrit :
> soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n >=1
> U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)

Je te propose d'écrire U(n) = [U(n) - U(n-1)] + [U(n-1) - U(n-2)] +
[U(n-2) ...etc... - U(2)] + [U(2) - U(1)] + U(1)
Par la relation ci-dessus, on sait que U(n+1) - U(n) = 1 + 2 U(1) pour
tout n >= 1...

--
Nico.

[Anonyme]

"Didier DAMET" a écrit dans le message de
news: cr61ea$le2$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Bonjour et bonne année à tous!
>
> soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n >=1
> U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)
>
> Je dois précisier U(n) en fonction de U(1) et n
> Je dois utiliser les sommations et je suis coincé...
> Si qqun pouvait me donner une piste de départ...merci d'avance!
> Loic

Salut

moi je ferais comme suit :
v(n)=u(n+1)-u(n)
donc u(n+1)-2u(n)+u(n-1)=v(n)-v(n-1)
=> v(n)=2u(1)+v(n-1)
donc v(n)=2n*u(1)+v(0) et v(0)=u(1)
=> v(n)=(2n+1)*u(1)

comme v(n)=u(n+1)-u(n), on a:
u(n+1)=(2n+1)*u(1)+u(n)
donc u(n)=somme(k=0..n-1,(2k+1)*u(1))+u(0)
=> u(n)=u(1)*somme(k=1..n,2k-1)
=> u(n)=u(1)*(2*somme(k=1..n,k)-somme(k=1..n,1))
=> u(n)=u(1)*(2*n*(n+1)/2-n)=n²*u(1)

voila voila
bonne fêtes à tous et meilleurs voeux pour 2005

[Anonyme]

albert junior a écrit :
> Didier DAMET a écrit:
>[color=green]
>> Bonjour et bonne année à tous!
>>
>> soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n[color=darkred]
>> >=1 U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)
>>
>> Je dois précisier U(n) en fonction de U(1) et n
>> Je dois utiliser les sommations et je suis coincé...
>> Si qqun pouvait me donner une piste de départ...merci d'avance!
>> Loic[/color]
>
>
> euh pourquoi as tu écrit U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1) ? confirmes tu
> que c'est cela ? (parce que il y a comme une simplification...)
>[/color]

Si je simplifie cela me donne U(n+1) - U(n) - 1 = 2U(1)...mais je coince
toujours :=(...à moins que je me trompasse? ;=)
loic

[Anonyme]

Didier DAMET a écrit:

> Si je simplifie cela me donne U(n+1) - U(n) - 1 = 2U(1)...mais je coince
> toujours :=(...à moins que je me trompasse? ;=)
> loic

non c'est juste que ca me paraissait bizarre et que je me disais que
peut-être avais tu mal recopié la formule

mais je crois que d'autres ont répondu à l'exercice

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41D693D1.4080508@hotmail.com...
> Didier DAMET a écrit:
>[color=green]
>> Si je simplifie cela me donne U(n+1) - U(n) - 1 = 2U(1)...mais je coince
>> toujours :=(...à moins que je me trompasse? ;=)
>> loic
>
> non c'est juste que ca me paraissait bizarre et que je me disais que
> peut-être avais tu mal recopié la formule
>
> mais je crois que d'autres ont répondu à l'exercice
>
> --
> albert
>[/color]

ça doit être une faute de frappe dans le sujet car c'est une relation entre
u(n+1), u(n) et u(n-1) sinon le pb n'a aucun intêret!!!
A+

Guiz

[Anonyme]

GuizLolo a écrit:

>
> ça doit être une faute de frappe dans le sujet car c'est une relation entre
> u(n+1), u(n) et u(n-1) sinon le pb n'a aucun intêret!!!
> A+

c'est ce que j'avais pensé mais l'énoncé indique également n>=1 or on a
une relation avec U(n-1) et U(1) ... c'est un peu moyen

--
albert

[Anonyme]

"Didier DAMET" a écrit dans le message de
news: cr61ea$le2$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Bonjour et bonne année à tous!
>
> soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n >=1
> U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)
>
> Je dois précisier U(n) en fonction de U(1) et n
> Je dois utiliser les sommations et je suis coincé...
> Si qqun pouvait me donner une piste de départ...merci d'avance!

Je suppose que la formule récurrente est plutôt
U(n+1) - 2U(n) + U(n -1) = 2U(1)
(Sinon, en simplifiant, tu as simplement une suite arithmétique ! )

Tu sommes l'égalité sur les n de 1 à N-1 (N>=2), tu effectues le changement
de variable
* ) k=n+1 dans la première somme, ce qui te donne sum( k =2 à N, U(k))
* ) k=n-1 dans la troisième somme, ce qui te donne sum(k=0 à N-2, U(k)

Pour effectuer les opérations sur les trois sommes, puisqu'elles possèdent
les mêmes termes généraux (U(k) en l'occurence), tu utilises la relation de
Chasles relativement à l'ensemble commun d'indice.
Dans le cas présent, l'ensemble d'indice commun entre {2,...,N}, {1,...,N-1}
et {0, ..., N-2} est l'ensemble {2,..,N-2} et tu écris
sum(k=2 à N, U(k) ) =sum(k=2 à N-2, U(k)) +U(N-1)+U(N)
sum(k=1 à N-1, U(k) ) =U(1) + sum(k=2 à N-2, U(k)) +U(N-1)
sum(k=0 à N-2, U(k) ) =U(0)+U(1)+ sum(k=2 à N-2, U(k))
ce qui te donne
sum(n=0 à N-1, U(n+1) - 2U(n) + U(n -1) = sum(n=0 à N-1, 2U(1))
sum(k=2 à N-2, U(k)) +U(N-1)+U(N) - 2[U(1) + sum(k=2 à N-2, U(k)) +U(N-1)] +
U(0)+U(1)+ sum(k=2 à N-2, U(k)) = 2*N*U(1)
U(N)-U(N-1) + U(0) - U(1) = 2*N*U(1)
U(N)=U(N-1) + 2*N*U(1) - U(0) + U(1)

La solution générale de l'équation homogène V(N)=V(N-1) est la suite
constante
Pour une solution particuliere, tu cherches une solution W(N) sous la forme
d'un polynôme du second degré en N de la forme aN^2+bN+c, ce qui te donne
(par identification)
2a = 2*U(1), b-a = U(1)-U(0) et c quelconque (je choisis c=0)
donc a = U(1) et b = 2U(1) - U(0)

Ainsi, la suite U(N) s'écrit
U(N) = constante + U(1)*N^2 + (2U(1)-U(0))*N
le cas N=1 te donne la constante = -(2U(1)-U(0)
donc U(N) = U(1)*N^2 + (2U(1)-U(0))*(N-1)

(il y a peut-être une petite erreur de calculs mais l'idée est la bonne)


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[Anonyme]

Didier DAMET a écrit :
> Bonjour et bonne année à tous!
>
> soit Un une suite de nombres réels définie par U(0)=0 et pour tout n >=1
> U(n+1) - 2U(n) + U(n) -1 = 2U(1)
>
> Je dois précisier U(n) en fonction de U(1) et n
> Je dois utiliser les sommations et je suis coincé...
> Si qqun pouvait me donner une piste de départ...merci d'avance!
> Loic

Merci à tous pour votre aide!
loic