Suites de Farey

[mehdi-128]

Bonjour,

Je suis dans le problème 2 de ce sujet : http://www4.ac-nancy-metz.fr/capesmath/ ... 2_2019.pdf
J'ai traité la partie A sans problème. Je bloque à la question XI de la partie B.

On considère l'application suivante :

tel que est la forme fractionnaire irréductible de .

1/ Montrer que est injective.
2/ Montrer que n'est pas surjective.On pourra montrer que
3/ Soit non nul. Montrer que .
4/ On note le nombre de termes de . Montrer que et que l'égalité n'est satisfaite que si .

Je bloque sur l'injectivité.

[tournesol]

Soit x=a/b et x'=a'/b' avec a/b et a'/b' irréductibles .
si théta(x)=théta(x') , alors (a,b)=(a',b') donc a=a' et b=b' donc a/b=a'/b' et donc x=x' .

[mehdi-128]

Merci.

2/ Pour montrer la non surjectivité il faut montrer que :



Ici en prenant que :



Soit alors il admet une FFI de la forme :
avec u,v premiers entre eux.

Par l'absurde, si alors ce qui est contradictoire avec u,v premiers entre eux.

Pour la 3, trivial en utilisant l'équivalence démontré en VIII car donc

Pour la 4, je n'y arrive pas

[tournesol]

Ou encore (0;0) n'a pas d'antécédent , ou(1,0) .

[mehdi-128]

Pour la 3 :

Soit . Comme : avec

Comme : avec Comme et que

Alors

Comme alors d'où :

Par contre je trouve la question 4 difficile

[mehdi-128]

Comment déterminer le cardinal de :

? Le cardinal de c'est 2 ?

Je veux considérer l'application :



D'après la question précédente :

f étant injective, elle est aussi surjective car son ensemble d'arrivée est son image donc :

[mehdi-128]

Bonjour, j'ai bien avancé sur le sujet, il ne reste que 4 questions : http://www4.ac-nancy-metz.fr/capesmath/ ... 2_2019.pdf

Je bloque sur la question XIV.2.h :
En déduire que

Ce que j'ai fait pour la question précédente XIV.2.g :
On a :

Remarquons que et que
Comme on a : et
On en déduit : avec
Donc

Comme on en déduit directement que :
Or avec car
Comme on obtient :
On a montré :
Comme d'après IV.2.b :