Suites ... toujours les suites ...

[klevia]

Bonsoir, j'arrive pas du tout à faire cet exercice alors si vous pouviez m'aider...

Soit (an) une suite réelle positive telle que pour tous (m,n)
a(m+n) inférieur ou égal à a(m)+a(n)
a(m+n)<= a(m) +a(n)
Montrer que (an/n) converge

Niveau de l'exo : prepa agreg interne

Merci de votre aide.

[Skullkid]

Bonsoir, puisque est à termes positifs, il en est de même pour , donc pour montrer que converge il suffirait de montrer qu'elle est décroissante.

Calcule la différence de deux termes consécutifs de cette suite, si je me suis pas trompé, ça marche.

[yos]

Bnjour.

Pas évident ton truc Skullkid. Je paie pour voir.

[klevia]

an/n peut être croissante ou décroissante ... Pas aussi facile que ça...
Voila ou j'en suis : an/n est borné car andonc an< n a1 donc an/nan est donc borné il existe une sous suite qui converge ...
impossible de prouver que an converge à partir de là...
Peut-être y arriverez-vous
Merci de votre aide


Bravo la France !!!

[Skullkid]

Oui, j'ai fait une erreur débile de signe...ça m'apprendra, je vais retourner au collège :mur:

Désolé =/

[klevia]

Merci d'avoir essayé skullid

[fahr451]

bonsoir
la suite a(n)/n est minorée par 0 elle admet un inf = L

on montre qu 'elle converge vers cet inf

pour tout m

a(m)/m >= L

d'autre part soit epsilon

il existe n fixé tel que

a(n)/n < L +epsilon

pour m on écrit

m =kn+r la division euclidienne 0=

on a alors

a(m) = a(kn+r) =< ka(n) +a(r) puis

a(m) / m = < k a(n) /(kn+r) +a(r)/ m

pour m->+inf id est k->+inf on a

a(r)/m->0 car il n ' ya qu 'un nbre fini de a(r)
et
ka(n)/ (kn+r) -> a(n)/r

donc il existe m0 tel que pour m>=m0

a(m)/m= < a(n)/n + epsilon < L +2 epsilon et le résultat

[klevia]

Merci fahr451, 2 exo résolus hier.
Tu est officiellement nommé HERO de ce samedi 6 Octobre !!! :king2:
Mais l'équipe de France était juste derrière toi

[klevia]

fahr451,
pourrais-tu, stp , préciser un peu cette partie de la démonstration.
Merci

a(m) / m = < k a(n) /(kn+r) +a(r)/ m

pour m->+inf id est k->+inf on a

a(r)/m->0 car il n ' ya qu 'un nbre fini de a(r)
et
ka(n)/ (kn+r) -> a(n)/r <---- en particulier ce point

je te remercie