Suite de Syracuse inverse.

[Matchik]

Bonjour, nouveau ici je ne suis qu’un simple gars pas trop fort en Math mais passionné tout de même et j’aimerais livrer quelques considérations personnelles sur la suite de Syracuse inversée, c.a.d. qui remonte la suite à l’envers, afin que des « sachants » puissent m’en faire un retour d’analyse car je n’ai rien trouvé d’équivalent sur internet ou ailleurs.

Cette suite inversée me semble constituer une analogie intéressante avec le concept de la flèche du temps : lorsque l’algorithme original s’exécute en descendant vers 1, nombre qui peut représenter figurativement une origine dans le passé, aucun choix n’est possible, les itérations s’enchaînent inéluctablement de manière déterministe.
En revanche, lorsque l’algorithme inverse est exécuté, donc vers le « futur », alors des choix sont parfois possibles, ce qui crée des ramifications dichotomiques dans un univers de trajectoires possibles dont le nombre croît exponentiellement tout en créant l’apparence du hasard. L’analogie avec la notion de temps est ainsi tout à fait pertinente et explique pourquoi il est plus facile de se diriger vers le futur que vers le passé. En effet le fait d’avoir des alternatives détermine la translation vers le futur, tout système évolutif se caractérisant par une augmentation exponentielle d’états possibles concomitante à l’augmentation de son entropie.
Pour rappel l’algorithme direct est le suivant : si n est pair alors ni+1 = n/2 et si n impair alors ni+1 = 3n+1 en remontant le passé vers l’origine. Il n’y a aucune exception et la suite est comme tracée d’avance.
En revanche, tourné vers le futur son algorithme inverse est alors ni+1 = 2n pour n pair, par contre si n est impair alors l’incrémentation suivante ni+1 peut être 2n mais aussi (n-1)/3 à condition que le résultat soit entier et impair (une occurrence sur deux). Ce renversement d’algorithme explique la violation fondamentale de symétrie entre les deux direction du temps, lequel pointe classiquement vers un accroissement de la complexité et du désordre dans le sens du futur mais qui en réalité est attaché à l’algorithme qui offre des choix non déterministes, autrement dit qui ne doivent être dictés que par le hasard seul et ne pas être reproductibles. Toutefois, et de manière surprenante, certaines suites réciproques peuvent également redescendre vers 1 au lieu de remonter, par exemple 34 et 22.
J’en aurais encore pas mal à rajouter mais le résumé essentiel est fait.

[Matchik]

Les forumers ne sont peut-être pas intéressés par le sujet, ou alors ils n'ont pas le niveau....

[Ben314]

Salut,
Le problème en ce qui me concerne, c'est que je n'ai pas eu l'impression en lisant ton message qu'il contenait une question. Et ça explique que je n'ai pas jugé pertinent de poster une . . . réponse . . . (pas de bras, pas de chocolat).
Bon, sinon, d'étudier la suite de Syracuse "à l'envers", à priori, je vois pas vraiment ce que ça peut apporter de nouveau. Et le fait qu'il y ait parfois plusieurs antécédents possibles (i.e. que la fonction n'est pas injective) ne pose pas vraiment de problème : au lieu de manipuler des entiers comme dans la suite usuelle, il suffit de manipuler des ensembles d'entiers et le tour est joué.
Çà donnerais U0={1} ; U1={2} ; U2={4} ; U3={1,8} ; U4={2,16} ; U5={4,5,32} ; U6={1,8,10,64} ; Uk=l'ensemble des entiers qui donnent 1 en k itérations de la suite de Syracuse usuelle.
Et concernant une interprétation "métaphysiologique" concernant une "inversion de la flèche du temps", je te laisse le soin de t'en occuper vu qu'en ce qui me concerne, je vois pas bien le rapport avec des mathématiques.

[Matchik]

Merci de ta réponse mais le concept de la flèche du temps fait appel à l’entropie, laquelle est traitée mathématiquement. Mais passons, mon approche d’étudier l’algorithme à l’envers est un début de tentative pour résoudre la conjecture, du moins de visualiser intuitivement qu’elle ne peut être fausse : partant d’un nombre entier on soustraie 1 et on divise par 3 si il est pair tandis que l’on multiplie par 2 les résultats entiers impairs. Il se trouve qu’on ne peut diviser par 3 qu’un tiers des nombres impairs, soit un sixième de tous les nombres entiers. A leur tour seul un tiers des résultats peut être redivisé par 3 et ainsi de suite. A contrario tous les autres nombres pairs et impairs peuvent être multipliés par 2 et ainsi l’ensemble des trajectoires s’étend inexorablement vers l’infini (en direction du ‘’futur’’ ainsi défini). Ce qui est la même chose que de dire qu’en sens contraire elles tendent vers 1 sans exception.
A partir d’un nombre quelconque d’une suite prise dans le sens de l’anti-algorithme il est possible de construire une infinité de suites inversées uniques, de longueurs infinies mais dont aucun nombre ne sera pourtant jamais répété. On voit en effet que cet algorithme présente la caractéristique de ne pas pouvoir boucler sur lui-même en trouvant une nouvelle fois un même nombre dans la même suite, ce qui créerait un paradoxe. La seule fois où l’on trouve une telle boucle infinie est dans l’intervalle compris entre les nombres 1 et 4, lequel constitue une sorte de trou noir primordial dont l’algorithme ne peut sortir. Dans le sens inverse par contre il est toujours possible de créer un embranchement à partir duquel une nouvelle suite va émerger. Sous ces conditions initiales la suite infinie des puissances de deux génère un embranchement toutes les deux générations et constitue une sorte d’attracteur vers lequel convergent inéluctablement l’ensemble infini de toutes les suites que l’algorithme direct peut écrire.

Le séquençage de Syracuse est justement un moyen de construire une infinité de suites infinies de nombres entiers, donc de compartimenter de manière étanche l’ensemble infini des nombres entiers. Prouver que l’ensemble des nombres entiers peut être ainsi généré sans en oublier aucun démontrerait l’hypothèse de Syracuse de manière positive.
La question corollaire qui se poserait ensuite serait de savoir s’il est possible de déterminer comment créer une suite inverse partant de un et aboutissant à un nombre déterminé sans avoir à explorer toutes les suites possibles, ce qui pourrait être extrêmement long.

[lyceen95]

Tu dis :

On voit en effet que cet algorithme présente la caractéristique de ne pas pouvoir boucler sur lui-même en trouvant une nouvelle fois un même nombre dans la même suite,

Euh ... tu devrais réfléchir un peu plus.
Ou mieux, tu devrais t'informer un peu plus sur cette suite de Syracuse. Parce que réfléchir, ça demande d'être bien outillé.

Par exemple en lisant l'article de Wikipédia, pour commencer.
On nous dit :

on peut conclure qu'à part le cycle trivial (1,4,2,1…) il n'existe aucun cycle de longueur inférieure à 186 milliards

J'explique : Toi tu affirmes rapidement qu'il n'y a aucun cycle... fin du débat.
Des gens qui ont bossé sérieusement sur le sujet (et des gens ultra-compétents en l'occurrence) ont acquis la certitude qu'il n'y avait aucun cycle de moins de 186 milliards de termes, mais qu'on pourrait tout à fait trouver des cycles plus longs, en regardant des nombres très très grands (tellement grands que les traitements informatiques seraient très coûteux).
Donc ton affirmation est quand-même sacrément péremptoire, et évidemment totalement fausse.

Comme ton 2ème message d'ailleurs : les forumeurs n'ont pas le niveau ...
lol.

[Matchik]

En fait oui et non, n’oublie pas que j’ai introduit le concept de suite inverse, dont wiki ne parle pas. Admettons qu’en exécutant l’algorithme inverse celui-ci rencontre un nombre pour la seconde fois, ce qui créerait une infinité de répétitions (boucles) si l’algorithme n’était pas arrêté. Mais en partant de l’un des nombres de cette boucle et en exécutant l’algorithme de la suite de Syracuse dans le sens direct il faudrait alors admettre que l’algo retrouverait automatiquement le chemin d’arrivée sans se mettre en boucle, donc que les répétitions existeraient dans un sens mais pas dans l’autre, ce qui représente un paradoxe. Et si l’algo direct restait lui aussi bloqué dans cette boucle alors comment la suite inverse aurait-elle pu y arriver ? Ces paradoxes ont pour conséquence qu’il faudrait qu’il existe au moins une boucle de quelques nombres, d’ailleurs peut-être très peu nombreux, inaccessibles aux deux algorithmes pour que la conjecture soit fausse, c’est à dire des nombres qui n’apparaitraient jamais dans aucune autre suite parmi les trilliards de suites directes et inverses de Syracuse. Ces nombres ne pourraient donc être découverts que par un hasard totalement improbable ou par une force brute de calcul quasiment infinie, on est bien d’accord.

[Ben314]

Je ne comprend pas bien à quelle sauce tu utilise le mot "paradoxe" : si effectivement il existe un autre cycle que 1->2->4->1 dans la suite de Syracuse, ça signifierais que dans l'algo. usuel, en partant de n'importe quel nombre de ce cycle, ben tu boucle (évidement ! ! ! ) en ne tombant jamais sur 1 donc ça signifie que dans ton "algo inverse", on ne tombe jamais sur aucun des nombres de ce cycle.
Et je ne vois pas où est le "paradoxe" là dedans, ni l'intérêt qu'il y a à procéder "à l'envers" d'ailleurs.
Et je rajouterais même que, si Wiki. ne parle pas de l'algo. inverse dans son article sur la suite de Syracuse, c'est absolument pas du fait que personne n'y a pensé, c'est simplement que ça n'a pas d'intérêt : donne moi un seul exemple de truc que tu repérera facilement en remontant "à l'envers" et que tu n'aurais pas repéré aussi facilement en procédant normalement (et une vrai propriété mathématique, pas des trucs bidon de science fiction du style "j'inverse la flèche du temps").

[lyceen95]

Euh.. il y a une section 'Approche inverse' dans la page wikipedia sur la conjecture de Syracuse. Par curiosité, je viens de vérifier sur la page Wikipedia en anglais, et il y a aussi une section sur cette approche inverse.

Par contre, oui, dans cette approche inverse, on a la certitude de ne pas rencontrer de cycle.
Par construction, dans cette approche inverse, on va batir un arbre, et dans cet arbre, on va avoir uniquement les nombres qui sont 'reliés' à 1.

L'argument ' des trilliards d'arbres tous plus grands les uns que les autres' ... bof bof. Il y a bien une approche probabiliste, un peu dans ce genre mais en beaucoup plus technique mais soit tu te lances dans cette approche, et tu le fais sérieusement, soit cet argument n'a aucun intérêt.

[Matchik]

Réponse à Ben314 :
A mon tour je ne comprends pas ton affirmation selon laquelle si il existe une autre boucle que la boucle trivial 1-2-4-1 alors toutes les suites usuelles devraient nécessairement passer par cette nouvelle boucle. Des millions d’autres suites pourraient passer "à coté" sans jamais la rencontrer.
J’ai utilisé le mot paradoxe dans son sens habituel, et je n’ai jamais dit que personne avant moi n’avait travaillé sur les suites inverses !
Tu veux une particularité qui différencierait la suite directe de celle inverse ? Je l’ai mentionnée dans mon premier message : dans le sens direct la suite ne laisse aucun choix, elle est parfaitement uni-dimensionnelle, alors que dans le sens inverse il y a des choix, des bifurcations possibles, ce qui la différencie immédiatement de la première. C’est étonnant de ne pas voir l’analogie avec la flèche du temps, plus exactement avec des transformations réversibles/irréversibles, mais ce n’est pas indispensable, cet aspect secondaire peut très bien être laissé de coté dans un premier temps.
Réponse à Lycéen 95 :
L’argument selon lequel il serait impossible de tomber sur une boucle infinie dans l’algo inverse m’échappe, de plus je ne comprends pas ta phrase avec les "trilliards d’arbres tous plus grands les uns que les autres". Par contre, oui cette approche probabiliste est bien ce que j’ai vaguement en tête, avec le nombre de bifurcations comme une fonction exponentielle (je me retiens de dire entropique) et je sens bien que ça va être extrêmement technique de rentrer sérieusement là-dedans.

[Ben314]

Bon, ben à mon avis, le premier truc à faire, ben ça serait d'apprendre . . . à lire . . .
1) Ai-je écrit dans mon message du 22/09 [20h07] que TOUTES les suites allaient tomber sur le fameux cycle autre que 1-2-4-1 ou bien . . . ai-je écrit autre chose ?
2) Ai-je écrit dans mon message du 13/09 [19h22] que, si on considère tes "suites inverses" en temps qu'ensemble d'entiers alors le "processus inverse" ne laisse pas plus de choix que le processus direct ou ai-je écrit autre chose ?
3) La définition de "paradoxe" (dixit Wiki), c'est "une idée ou une proposition à première vue surprenante ou choquante, c'est-à-dire allant contre le sens commun" et je ne vois toujours pas le moindre rapport avec ce que tu raconte : où y-a-t'il quelque chose de "allant contre le sens commun" dans ton Laïus ?

Et sinon, modulo de ne pas reprendre de nouveau le "1" quand on tombe sur "4" (contrairement à ce que j'ai fait dans mon premier post), alors avec tes "suites inverses", tu ne tombera jamais deux fois sur le même nombre vu qu'en ne reprenant pas le 1 l'ensemble Uk, c'est alors l'ensemble des entiers qui donnent 1 pour la première fois au bout de itérations de la suite ce qui implique trivialement que les ensembles Uk sont disjoints.

[lyceen95]

Tu fais l'analogie avec le temps, je vais faire l'analogie avec un arbre.
Soit on part des feuilles et on arrive à la racine de l'arbre, c'est l'approche directe de la conjecture de Syracuse.
Chaque feuille est accrochée à une branchette, elle-meme accrochée à une branche, elle-même accrochée à une grosse branche ... avec unicité à chaque étape. Le chemin partant de chaque feuille est unique, l'avenir (ou le passé ?) de chaque feuille est écrit dans le marbre
50 est accroché à 25, lui-même accroché à 76, lui-même attaché à 38 ... ainsi de suite jusqu'à la racine de l'arbre, le nombre 1.

Soit on part de la racine, et à chaque embranchement, on peut partir vers une branche ou vers l'autre.
Quand on est au nombre 16, on peut aller vers la branche 32, ou vers la branche 5 etc etc.

Pourquoi on ne peut pas rencontrer de cycle ?
On se promène dans notre arbre. On part de la racine et on va vers les feuilles. Comme le petit poucet, on peut laisser des cailloux, pour retrouver le chemin du retour. Mais ce n'est même pas utile.
Quand on s'est 'perdu' très loin dans l'arbre, tu l'as dit toi même, il y a un unique chemin descendant. C'est comme une route, avec des carrefours de temps en temps, mais plein de sens uniques. Quand on roule en vélo, (dans le sens montant), on prend les routes à contre-sens, on a le choix régulièrement entre 2 routes.
Quand on roule en voiture (en partant des feuilles), on a régulièrement des carrefours, mais à chaque carrefour, on a un sens-unique, et par construction, cette succession de sens uniques nous emmène à 1. Partant de 25, on arrive au nombre 76 ; à ce carrefour-là, on est rejoint par les voitures qui viennent de 152, mais on n'a pas le choix, on va vers 38. En vélo, à contre-sens, partant de 38, on est allé vers 76, et là, on a eu le choix pour aller vers 25 ou vers 152.

Pas de cycle autre que le cycle 1,2,4 évidemment.

Ici, tu parles d'un arbre qui commence par le nombre 1. C'est important.
Si tu prends un nombre très grand (un nombre jamais exploré par un autre explorateur), un nombre avec quelques milliers de chiffres, et si tu regardes l'arbre partant de ce nombre, (en descendant, ou bien en montant, peu importe), qui sait, peut-être que tu tomberas sur un cycle.

[Matchik]

@Ben314 : en effet pour ce qui est de 1) j’avais mal interprété ta réponse, effectivement tu ne parlais pas de toutes les suites. Pour 2), même en considérant tous les nombres composant toutes les suites réciproques comme un ensemble il y a tout de même des choix possibles, donc on parle de l’ensemble des choix possibles, dont le nombre augmente exponentiellement. Curieusement les suites réciproques ne sont pas forcément infinies puisque certaines terminent sur 1 comme les suites directes, ce qui est à première vue surprenant.
Pour le 3) justement j’ai écrit qu’il n’y avait normalement pas de paradoxe.
Et sinon ce que tu écris rejoins ce que je disais dans mon premier post concernant la capacité de l’algorithme de Syracuse à créer une infinité de suites infinies isolées entre elles de manière étanche (ensembles disjoints).

@lycéen95 : tes analogies avec l’arbre ou la circulation en vélo sont pertinentes, c’est particulièrement clair si on trace quelques suites en utilisant une échelle log pour l’altitude, d’autant plus que la suite triviale des puissances de 2 peut représenter visuellement le tronc de l’arbre vers lequel les suites convergent toutes. Si dans le sens descendant on tombe un jour sur un cycle (une boucle) il y aura forcément d’autres nombres qui tomberont également dessus, et même une infinité du fait de l’infinité d’embranchements possibles. En montant de plus bas il n’est évidemment pas possible de tomber sur cette boucle spécifique (le fameux paradoxe), en revanche il existe peut-être d’autres boucles différentes des premières, et donc propres aux suites réciproques. Mais là il ne pourrait pas y avoir une infinité de nombres menant à ces boucles puisque les nombres inférieurs seront évidemment en quantité finie.

[Matchik]

On a un sérieux problème de spam ici, non ? Niveau sabotage même.

[Matchik]

Je crains que ce site ne soit plus fonctionnel, c'est envahi de spams. Tant pis.