Structure algébrique usuelle

[Vlad-Drac]

bonjour j'aurais besoin de detail sur mon cour que j'ai du mal a comprendre.

je ne vois pas pourquoi un groupe cyclique (ca jai bien compris ce que cest) dordre n est isomorphe (c'est ce mot là qui me derange meme si jai une définition formelle) a Z/nZ

:hum:

edit: par exemple si on prend G={e,a,b,c} cyclique dordre 4 donc un element au moin est dordre 4 (on va dire a) et tous les autre element s'ecrive comme multiple de a
e=a^4
b=a^3
c=a^2
et donc ce groupe est sensé etre isomorphe a Z/4Z={0,1,2,3} les differente classe de 1 a n-1

[Vlad-Drac]

si je dit soit f:G -> Z/4Z
si pour tout (x,y) appartient a G , f(x,y)=f(x).f(y) alors g est isomorphe a Z/4Z
e->0
a->1
b->2
c->3

f(a).f(b) = 1.2 = 3

hum et a.b=c et f(c) = 3

c'est du charabia ce que j'écrits ou pas ? :briques:

[Nightmare]

Salut,

ton groupe étant cyclique, on peut l'écrire

Je t'invite alors à considérer le morphisme où est la classe de k modulo n.

[Vlad-Drac]

ha oui c'est une application bijective d'ou l'isomorphisme.
Une autre question me viens. dans le cas present on voit bien que c'est un morphisme de groupe car f(a.b)=f(a)+f(b) mais comment fait on pour le démontrer ? donner un exemple ne suffi pas et pour des cas plus compliqué je ne peut pas vérifié tous les cas ...

[Ben314]

Ben, déjà, ici, si le groupe G à 500 éléments, tu ne va pas te taper à la mais les 500x500 possibilitées pour le couple (a,b) lorsque tu va vérifier que f(a.b)=f(a)+f(b), tu va bien faire une "preuve théorique" :
Si a et b sont dang G alors il existe m et n tels que a=g^n et b=g^m d'ou f(a)+f(b)=n+m [la classe de n plus la classe de n] et, comme a.b=g^(n+m) on a f(a.b)=n+m [la classe de n+m] : c'est bien la même chose...

[Vlad-Drac]

super merci pour ton aide!

[Vlad-Drac]

Je post par dessu pour éviter de refair un topic.
je voudrais savoir si le prof s'est trompé dans l'énnoncé :/

on considere G un groupe a 6 element. on suppose qu'il existe un element (de G) x d'ordre 3. Soit H le sous groupe à 3 elements engendré par x .soit y un element de G qui n' est pas dans H, en sorte que G est reunion disjointe de G et de la classe de y.

je ne voi pas comment ecrire mes groupe.
bon le 1ere je croi savoir : H={e,x,x²)

mais G={e,x,x²,y,z,z'} ??? je ne comprend ce qu'il entend par disjoint de G et de la classe de y :marteau: