Structure algébrique

par **mejdane** » 31 Oct 2006, 20:03

Bonsoir à tous !
j'ai une notion que j'ai pas bcp assimilé ,c'est celle de l'ordre d'un élément(sa définition).
Merci de m'aider!

par **jose_latino** » 31 Oct 2006, 20:19

d'un élément d'où? :hein:

par **Imod** » 31 Oct 2006, 20:19

Il faudrait préciser dans quel cadre tu te places , la notion d'ordre ayant des usages multiples .

Imod

par **mathador** » 31 Oct 2006, 20:26

Bonjour, l'ordre d'un élément x est par définition (enfin ... une définition ! y'a plusieurs emploi du mot "ordre" !) le plus plus petit entier naturel non nul n (s'il existe) tel que x*x*x*...*x (n fois) est égal à l'élément neutre pour la loi * considérée (pas forcément la multiplication!).
Si la loi est l'addition et que x est d'ordre n, alors x+x+x+...+x = 0
Si la loi est la multiplication, x^n = 1 .

Dans R, avec l'addition et x = 2, il est clair que 2+2+...+2 ne sera jamais nul, donc pas d'ordre.

Mais dans C avec la multiplication et x = i on a :
i = i (différent de 1)
i² = -1 différent de 1
i^3 = -i différent de 1
1^4 = 1 ah, enfin !

Donc i est d'ordre 4 pour la multiplication dans C.

La notion d'ordre peut aussi être utilisée, par exemple, pour une permutation d'un ensemble. Prenons le couple (0;1). Les deux permutations qui existent pour ce couple sont l'identité et la transposition qui échange 0 et 1. L'identité est d'ordre 1, la transposition d'ordre 2 ...

J'espère avoir été assez clair, n'hésite pas à poser d'autres questions ! (et merci aux autres de me corriger si je me trompe : c'est loin, tout ça !)
Amicalement

par **mejdane** » 31 Oct 2006, 20:31

plus précisemment,c'est l'ordre d'un élément du'un groupe G.
A partir de cette définition on peut définir un élément générateur du groupe G et les groupes cycliques (mais j'ai pas l'idée claire).

par **mejdane** » 31 Oct 2006, 20:39

Merci bien mathador!
Mais j'ai une autre question svp :comment peut on utiliser cette définition pour définir un élément générateur d'un groupe et par conséquent un groupe cyclique.
Merci d'avance!

par **Imod** » 31 Oct 2006, 20:40

L'ordre d'un élément d'un groupe est le cardinal du groupe engendré par cet élément .

Imod

par **BiZi** » 31 Oct 2006, 20:57

L'ordre de a est le cardinal de l'intersection des sous-groupes contenant a.

par **Vedeus** » 31 Oct 2006, 21:57

BiZi a écrit:L'ordre de a est le cardinal de l'intersection des sous-groupes contenant a.

Définition correcte, mais inutilisable dans la pratique.

par **BiZi** » 31 Oct 2006, 23:39

Vedeus a écrit:Définition correcte, mais inutilisable dans la pratique.

Effectivement, mais c'était juste pour donner la "vraie" définition. On peut ensuite en déduire que l'ordre est le plus petit entier k>0 tel que a^k=1 (c'était la définition de mathador) et c'est cette définition qu'on utilise en général. Mais ce n'est pas vraiment une définition, c'est plus une conséquence de la définition.

par **Vedeus** » 31 Oct 2006, 23:54

BiZi a écrit:Effectivement, mais c'était juste pour donner la "vraie" définition.

Réflexion très curieuse. A mon avis, tu manques de recul sur la question.

Une "bonne" définition, c'est d'abord une définition qui permet tout de suite de travailler. Le fait de lier l'ordre d'un élément à l'ordre du sous-groupe
engendré est important, mais cela ne justifie pas qu'on adopte
cela comme définition première. Et il est encore moins utile de présenter
pour l'occasion le sous-groupe engendré comme une intersection de sous-groupes (dans la pratique, l'intérêt d'une telle considération est souvent faible).

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