Sous groupes de Z/nZ

par **luigi** » 06 Jan 2007, 21:15

Bonjour,

Cette question est a priori très facile ... mais je ne sais pas comment procéder :help: . Il s'agit de déterminer les sous-groupes de Z/nZ (par exemple pour Z/6Z, Z/12Z). Je ne sais plus du tout comment procéder. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la méthode ?

Merci d'avance !

par **Zebulon** » 06 Jan 2007, 21:25

Bonsoir,
première chose à laquelle il faut penser : le théorème de Lagrange.
Dans le cas où n est premier, les sous-groupes sont donc {0} et des sous-groupes d'ordre n. Regarde ce qui se passe pour un sous-groupe monogène...
Quand n n'est pas premier, je cherche...

par **yos** » 06 Jan 2007, 21:25

Ils sont cycliques!

par **Zebulon** » 06 Jan 2007, 21:29

Toujours ? Même quand n n'est pas premier ?

par **tize** » 06 Jan 2007, 21:31

Zebulon a écrit:Toujours ? Même quand n n'est pas premier ?

Oui ils sont isomorphes à Z/dZ avec d|n...

par **yos** » 07 Jan 2007, 00:04

Zebulon a écrit:Toujours ? Même quand n n'est pas premier ?

Il s'agit du groupe additif Z/nZ. C'est le prototype du groupe cyclique dordre n. Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique (est-ce évident ça? Je vais l'utiliser pour m'endormir; en tout cas c'est sûr!) Bonne nuit.

par **Zebulon** » 07 Jan 2007, 10:45

yos a écrit:Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique (est-ce évident ça? Je vais l'utiliser pour m'endormir; en tout cas c'est sûr!)

C'est justement ce que je me demandais...

par **yos** » 07 Jan 2007, 11:02

On prends G cyclique, G=, et H un sous-groupe de G. Alors il existe une plus petite puissance

de x contenue dans H. On voit facilement (avec une division euclidienne) que

engendre H.
Si on écrit le truc avec des groupes additifs, peut-être qu'on voit mieux.

par **simplet** » 07 Jan 2007, 15:37

Une remarque qui me parait pas mal ici (j'espere qu'elle est bonne :-)

:

Les sous-groupes de Z/nZ sont en bijections avec les sous-groupes de Z contenant nZ. (la bijection est la surjection canonique).

Les sous-groupes de Z contenant nZ sont faciles à déterminés, ce sont les dZ, d divisant n (par exemple ceux qui contiennent 6Z sont 6Z, 2Z,3Z, Z): les ssgrp de Z/nZ sont donc les dZ/nZ où d divise n.

Plus généralement, si H est distingué dans G, alors les sous-grp de G/H sont en bijection les ssgrp de G contenant H.

C'est d'ailleurs la mm remarque qui permet de déterminer les idéaux de l'anneaux quotient A/I, les idéaux etant entre autre des ssgrp... (ca peut servir un jour :-)

(voila ma petite contribution :zen: )

___________________________

la démonstration de "tout ssgrp d'un grp cyclique est cyclique" est analogue (c'est un cas particulier de) "un anneau euclidien est principal, ie tout idéal est engendré par un élément". C'est une démo qu'il faut savoir re-faire je pense.

par **luigi** » 07 Jan 2007, 18:55

Merci des réponses.

Les ssgrpe de Z/12Z sont donc : 1Z/12Z, 2Z/12Z, 3Z/12Z, 4Z/12Z, 6Z/12Z, 12Z/12Z. Je me rappelle qu'il y avait une notation spéciale pour désigner ces sous groupes : un nombre surmonté d'une barre, pitêt que je me gourre :p

par **simplet** » 07 Jan 2007, 20:38

ce que j'ai indiqué plus haut ( dZ/nZ ) n'est qu'une notation: en fait c'est l'ensemble cl(d).Z où cl(d) est la classe de d dans Z/nZ.

Et puis pour terminer, tu pourrais simplifier ton écriture 12Z/12Z ...

par **luigi** » 07 Jan 2007, 21:01

Okey. En fait, faudrait que j'écrive : cl(1), cl(2), cl(3) ... appartiennent au sous groupe de Z/12Z ?

par **simplet** » 07 Jan 2007, 21:43

... je résume ce qui a été dis:

Les sous groupes de Z/nZ sont les cl(d).Z où d est un diviseur de n et où cl(d) est la classe de d dans Z/nZ.

Les ss grp de Z/6Z sont: cl(1).Z=Z, cl(2).Z, cl(3).Z, cl(6).Z=cl(0)

_______________________________________

Pour rigoler voir un peu plus loin, en considerant l'anneau Z/nZ, celui-ci est un corps si n est premier, et n'a alors que deux idéaux (qui sont des ssgrp) 0 et lui-même.

voila!! et bonne nuit!!

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