Sous groupes de Z/4Z

[MC91]

Bonsoir,

J'aimerai trouver les sous groupes de Z/4Z.
D'après le théorème de Lagrange, je peux dire que les cardinaux des sous groupes sont 1, 2 et 4.

Mais je ne sais pas comment faire pour en déduire les sous groupes. Comment peut on les dénombrer?

Merci de votre aide.
Bonne soirée

[Le_chat]

Un sous groupe de cardinal 1 c'est forcement {0}.
Un sous groupe de cardinal 4 c'est Z/4Z.
Un sous groupe de cardinal 2 c'est {0,a} avec a différent de 0. Que peux tu dire de a?

[MC91]

Un sous groupe de cardinal 1 c'est forcement {0}.
Un sous groupe de cardinal 4 c'est Z/4Z.
Un sous groupe de cardinal 2 c'est {0,a} avec a différent de 0. Que peux tu dire de a?

ok pour le cardinal 1 et 4.
Pour Z/4Z, a peut valoir 1,2 ou 3, avec 1 la classe d'equivalence de 1 par la relation modulo 4.

Après je sais pas trop comment savoir si c'est 1, 2 ou 3.

Peut on s'aider de l'ordre d'un élément? Car on a vu ça en cours aussi mais j'ai pas tout compris.

[Le_chat]

Pas besoin de faire compliqué. Un sous groupe est stable. Donc la somme de deux éléments de ce sous groupe est dans ce sous groupe. Tu peux utiliser ça.

[MC91]

Pas besoin de faire compliqué. Un sous groupe est stable. Donc la somme de deux éléments de ce sous groupe est dans ce sous groupe. Tu peux utiliser ça.

Euh pour moi ça marche avec 1, 2 et 3....
Et du coup on peut essayer de voir si le symétrique d'un élément du sous groupe appartient aussi au sous groupe...
Mais si je prend a=1 avec ton exemple de tout à l'heure, -1 n'appartient pas à l'ensemble constitué de 0 et 1 donc cet ensemble n'est pas un groupe...

En fait je crois que je n'ai pas compris ce qu'est le symétrique d'une classe d'equivalence.

[Le_chat]

-1=3=7=.. dans Z/4Z. Donc le symétrique de 1 c'est -1=3=7=..

[MC91]

-1=3=7=.. dans Z/4Z. Donc le symétrique de 1 c'est -1=3=7=..

Ah oui !! Merci beaucoup ! Je n'avais pas du tout compris ça ! Maintenant ça va mieux déja. :lol3:

Mais je n'arrive toujours pas à voir quel est le sous groupe de cardinal 2.... :--:

[Le_chat]

Ben t'as très justement dit qu'il y avait trois candidats:{0,1},{0,2}, et {0,3}. Parmi ces groupes, lesquels sont stables par +?

[MC91]

Ben t'as très justement dit qu'il y avait trois candidats:{0,1},{0,2}, et {0,3}. Parmi ces groupes, lesquels sont stables par +?

Pour moi les 3 sont stables par +, mais il y a certainement quelque chose qui m'échappe.

Je vois ça comme ça 0+1=1 qui appartient bien à {0,1}
0+2=2 qui appartient bien à {0,2}
De même pour le troisième.

[Le_chat]

et 1+1 ? 3+3?

[MC91]

et 1+1 ? 3+3?

Ah oui ... !
Donc seul l'ensemble constitué de 0 et 2 fonctionne, c'est bien ça?
car 0+2=2 ok
2+2=4 et 4 modulo 4=0, qui appartient bien à l'ensemble 0,2.

Je crois que j'ai enfin compris !!!

[Le_chat]

Voilà c'est ça!

[MC91]

Ah super ! Merci beaucoup, tu m'as bien aidé !
A bientôt, bonne journée.