Sous espace vectoriel stable

[nana2014]

salut!!!!
est ce que vous pouvez me donner une idée sur cette question :we:
quels sont les sous espaces de C[X] qui sont stable par l'endomorphisme de dérivation ???

[capitaine nuggets]

Salut !

Je n'ai pas de solutions mais tu peux toutefois remarquer qu'il y a :++:
Après, je ne m'y connais pas bien en dérivation complexe...

[wserdx]

Regarde les ensembles contenant, pour fixé, tous les éléments de de degré inférieur ou égal à .

[nana2014]

j'ai pas compris :hein:
comment on va procéder????

[adrien69]

On cherche les sous-espaces vectoriels A de C[X] tels que pour tout P appartenant à A, D(P) appartient à A. En gros on cherche les sous-espace qui sont envoyés vers eux-mêmes par D.
Dit autrement on cherche les sev A tels que D restreint à A soit un endomorphisme.

[wserdx]

j'ai pas compris :hein:
comment on va procéder????

Peux-tu préciser quelles sont les parties de la question qui te posent problème?
-sous-espace
-stable
-C[X] (= anneau de polynômes à coefficients complexes ?)
-dérivation
-endomorphisme
?

[nana2014]

merci pour l'idée wserdex
donc on peut raisonner comme ça:
d'abord on remarque que Cn[X] est stable par l'endomorphisme de dérivation
soit F un sous espace vectoriel de Cn[X] stable par dérivation
F est de dimension finie alors les polynômes de F sont de degrés bornés.
Soit P un polynôme de F de degré n maximal. On a F inclus dans  Cn [X].
Or la famille G formée des dérivés successives de P est échelonné formés
d’éléments de F car F est stable par dérivation donc c'est une base de Cn[X]
Cn [X] = Vect(G)  appartient à F donc F = Cn [X].
ainsi Cn[X]est le seul espace vectoriel de Cn[X] stable par dérivation :we:

[wserdx]

Oui à ceci près que C[X] est de dimension infinie, et qu'a priori, on pourrait donc aussi chercher les sous espaces de dimension infinie. Je te laisse vérifier que le seul sous espace de C[X], de dimension infinie, stable par dérivation, est C[X] tout entier.

[zygomatique]

merci pour l'idée wserdex
donc on peut raisonner comme ça:
d'abord on remarque que Cn[X] est stable par l'endomorphisme de dérivation
soit F un sous espace vectoriel de Cn[X] stable par dérivation
F est de dimension finie alors les polynômes de F sont de degrés bornés.
Soit P un polynôme de F de degré n maximal. On a F inclus dans  Cn [X].
Or la famille G formée des dérivés successives de P est échelonné formés
d’éléments de F car F est stable par dérivation donc c'est une base de Cn[X]
Cn [X] = Vect(G)  appartient à F donc F = Cn [X].
ainsi Cn[X]est le seul espace vectoriel de Cn[X] stable par dérivation :we:

vraiment pas clair ....

ne sais-tu pas que deg (P') = deg (P) - 1

donc

tout simplement ....

[nana2014]

mais on a à priori F inclus dans Cn[X] c'est ce que tu as dis( Cn-1 inclus dans Cn) alors on cherche à prouver que Cn[X]inclus dans F ce qui ne pousse à raisonner de tel façon

[zygomatique]

évidemment lire Cn[X] pour Cn

moi pas comprendre toi ....

si D(E) C E alors E est stable par E .....

[nana2014]

oui on sait déja que F inclus dans Cn
mais ce que tu ne veux pas compris qu'on cherche à prouver que F=Cn
donc on doit prouver que cn inclus dans F :hein:
ce que tu dis ne suffit pas il montre just la premiere inclusion
moi pas comprendre toi

[adrien69]

Bon sinon un peu de calme et de bonne volonté de la part de tout le monde ça pourrait aider, n'est-ce pas ?
On reprends et on résout le barda. Parce que non, Cn[X] (j'écrirais Cn) n'est pas le seul sev stable par D.
Tout d'abord C[X] fait partie des sev stables de C[X]. De même pour {0}.

Maintenant considérons F un sev strict non trivial de C[X], c'est à dire non égal à {0} ni à C[X].
Montrons que F est de dimension finie (c'est-à-dire, d'après le théorème des degrés étagés, qu'il y a un majorant global du degré de ses polynômes) si F est stable par D.
Par l'absurde : dans le cas contraire, pour tout N il existe M>N et un polynôme P de degré M tel que P est dans F. Mais D(P) est dans F, de même que D(D(P)), etc puisque F est stable. Donc pour tout k, est dans F. Or est exactement CN est comme F est un sev, F contient CN puisque tous les éléments dans Vect. On a donc montré que si F était un sev de dimension infinie de C[X], stable par D, alors F contient Cn pour tout n, donc il contient C[X], ce qui est absurde si l'on voulait F un sous espace strict.
Voilà, donc finalement, dimF est finie.

Soit désormais B une base de F, et P le polynôme de plus grand degré dans cette base. Disons n. On a necessairement d'après les degrés étagés. Comme précédemment, il est facile de montrer qu'alors que Cn est inclus dans F, mais d'après l'inégalité du degré, on en déduit que F=Cn.

Donc si F est un sous-espace de C[X] stable par D, C[X]={0}, C[X], ou l'un des Cn.
Réciproquement, tous les sous-espaces cités précédemment sont stables.
D'où le résultat.

Voilà comme ça vous arrêterez de vous battre pour des broutilles.

[zygomatique]

oui on sait déja que F inclus dans Cn
mais ce que tu ne veux pas compris qu'on cherche à prouver que F=Cn
donc on doit prouver que cn inclus dans F :hein:
ce que tu dis ne suffit pas il montre just la premiere inclusion
moi pas comprendre toi

:hein:

si F = C_n alors C_n C F !!!!!

et D(F) = D(C_n) = C_{n-1} C C_n = F

F est stable par D

...

[adrien69]

Les gars vous avez juste tous les deux été méga imprécis, c'est tout non ? Je suis sûr qu'avec un café et un tableau entre vous, vous vous seriez bien mieux compris. (Par contre nana, c'est pas les sous-espaces de Cn[X] qu'on cherche, c'est ceux de C[X] donc ton truc est vraiment brouillon) d'autre part je crois bien que vous vous battez sur deux parties différentes de la preuve : à zygomatique la synthèse et à nana l'analyse. C'est tout.
Je vous trouve bien crispés...

[zygomatique]

mdr ................