Sous espace stable

[coco7513]

Bonjour, j'ai une question :
Soit f un endomorphisme de E. Si F est un sous espace stable d'un espace vectoriel E, c'est à dire f(F) inclus dans F alors est ce que F est forcément un sous espace vectoriel de E?

Je pose cette question car je suis arrivé à une démonstration où je prend e1, ..., er une base de F donc pour tout x dans F, x=a1e1+...arer

donc f(x)=a1f(e1)+...+arf(er), je sais par ailleurs que les f(ei) sont dans F et je veux montrer que f(x) appartient à F mais j'ai besoin de la notion d'espace vectoriel pour conclure...

Merci d'avance pour votre réponse.

[Mimosa]

Bonjour

Si on te parle de sous-espace stable c'est qu'il s'agit d'un sous-espace! Sinon, une partie stable n'a aucune raison d'être un sous-espace; par exemple un point fixe non nul.

[pascal16]

si on avait f(F)=F , ça changerait tout

[Ben314]

Salut,

si on avait f(F)=F , ça changerait tout

euhhh, non, ça changerais pas grand chose...
Si par exemple f est la matrice d'une rotation (vectorielle) de R^2 d'angle 2pi/n alors quelque soit le vecteur v de R^2, l'ensemble (fini) F={v,f(v),fof(v), . . . ,fofo..of(v)} vérifie f(F)=F et c'est pas franchement un sous espace vectoriel...

[pascal16]

ok

[coco7513]

Salut,

si on avait f(F)=F , ça changerait tout

euhhh, non, ça changerais pas grand chose...
Si par exemple f est la matrice d'une rotation (vectorielle) de R^2 d'angle 2pi/n alors quelque soit le vecteur v de R^2, l'ensemble (fini) F={v,f(v),fof(v), . . . ,fofo..of(v)} vérifie f(F)=F et c'est pas franchement un sous espace vectoriel...

Cela veut dire quoi? dans votre exemple on a f(F) inclus dans F mais F n'est pas un sous espace vectoriel?

Donc cela veut dire que si F est un sous espace stable par f alors F n'est pas forcément un sev??

[Ben314]

Donc cela veut dire que si F est un sous espace stable par f alors F n'est pas forcément un sev??

Faudrait que tu songe à te relire quand même, parce que là, ta phrase, c'est quand même mot à mot la même chose que :
Si un chien est marron alors ce n'est pas forcément un chien....
Qui est quand même pour le moins... étrange...

Bref, je te rappelle que "sev", ça veut dire "sous espace vectoriel"
et que "sous espace stable", ben ça veut dire "sous espace vectoriel stable".

Et d'ailleurs, quand tu écrit ça :

...je prend e1, ..., er une base de F donc...

ça signifie bien évidement que tu considère que F est un (sous) espace vectoriel et pas autre chose.

[coco7513]

Donc cela veut dire que si F est un sous espace stable par f alors F n'est pas forcément un sev??

Faudrait que tu songe à te relire quand même, parce que là, ta phrase, c'est quand même mot à mot la même chose que :
Si un chien est marron alors ce n'est pas forcément un chien....
Qui est quand même pour le moins... étrange...

Bref, je te rappelle que "sev", ça veut dire "sous espace vectoriel"
et que "sous espace stable", ben ça veut dire "sous espace vectoriel stable".

Et d'ailleurs, quand tu écrit ça :

...je prend e1, ..., er une base de F donc...

ça signifie bien évidement que tu considère que F est un (sous) espace vectoriel et pas autre chose.

Effectivement je me suis embrouillé, merci pour vos réponses !