Un sous ensemble discret de R est dénombrable

[SuperPoule]

Bonjour,

Comment montrer qu'un sous ensemble discret de (topologie usuelle) est dénombrable ?
J'ai les idées suivantes :

1) Utiliser le caractère discret de en "enfermant" chaque élément dans un intervalle ouvert tel que .

2) étant dense dans , choisir arbitrairement un rationnel qui permettra de construire une injection d'une partie de (dénombrable) dans .

Voici ma question : Je ne vois pas comment garantir rigoureusement que mes intervalles soient 2 à 2 disjoints, et sans cela je ne vois pas comment construire l'injection dont je parle plus haut.

Auriez-vous une idées ?

[SuperPoule]

Edit : dans mon 2) je voulais bien sûr dire une injection de dans une partie de et non pas le contraire comme je l'ai écrit...

[SuperPoule]

Bonjour,

Après une bonne nuit de sommeil, voici ce que j'ai trouvé. Peut-être quelqu'un pourrait-il me dire si mon raisonnement lui semble correct (ou pas).

Pour tout on note .
Remarquons que car sinon serait point d'accumulation.

On pose alors, pour tout , . On a par construction .

De plus, on a d'une part et d'autre part, si alors .
En effet, si , avec par exemple alors ce qui est absurde !

Enfin, par densité de dans : pour tout , il existe .
L'application est alors injective et comme est dénombrable l'est alors également.

[capitaine nuggets]

Salut !

Selon moi ce que tu as fait me semble pas mal, mais je ne saurais pas te confirmer à 100% que c'est correct : je ne suis pas un expert en topologie hélas...

Une idée qui m'a traversé l'esprit, ce serait d'essayer de montrer la contraposée. : d'après moi, si on suppose que n'est pas dénombrable alors on devrait pouvoir trouver un intervalle ouvert non vide contenu dans .

A prendre avec des "pincettes" car, comme je l'ai dis précédemment, je ne suis pas un expert en topologie

P.S. : Au passage, en étudiant de plus prêt cette notion d'ensemble "discret", je me suis heurté à un problème de "décidabilité" : la partie est-elle discrète ou non ? J'ai trouvé que c'était affirmatif sur Wikipedia, négatif sur les-mathématiques.net (qui sont plus fiables)...

[catamat]

Bonjour

Cela me semble bien également comme démonstration mais, moi non plus, ne suis pas du tout expert en ce domaine.

@capitaine nuggets
J'ai lu aussi les interventions sur le sujet (en particulier sur mathematiques.net) et j'en ai retenu que

E={} est discret
alors que
EU{0} n'est pas discret car 0 est n point d'accumulation
les deux ensembles étant dénombrables

https://les-mathematiques.net/vanilla/d ... enombrable

[Ben314]

Salut,

Une idée qui m'a traversé l'esprit, ce serait d'essayer de montrer la contraposée. : d'après moi, si on suppose que n'est pas dénombrable alors on devrait pouvoir trouver un intervalle ouvert non vide contenu dans .

L'ensemble des irrationnels est non dénombrable mais ne contient aucun intervalle ouvert non vide.

Mais on peut effectivement montrer la contraposée relativement facilement : si n'est pas dénombrable alors c'est aussi le cas de ou . Supposons par exemple que ce soit . Si tout les ensembles étaient dénombrables, leur réunion (dénombrable) le serait aussi. Or ce n'est pas le cas donc l'ensemble des réels tels que tel que soit non dénombrable est non vide donc il admet une borne inférieure . Pour tout , vu que est dénombrable et que ne l'est pas, l'ensemble ne peut être réduit au singleton .

[SuperPoule]

Bonjour,
Merci à vous tous pour vos réponses ! La contraposée est très intéressante également, merci Ben314.