Sommes et terme general

[elmouldi]

Bonjour
mon probleme est assez basique pour tout le monde et complique pour moi
je m'explique
j'ai un petit souci au niveau des sommes
ex
1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)^2
dans tous les exemples que j'ai vu sur le net ou dans des livres
on admet que ces sommes sont bien egales a leur terme general " n(n+1)(2n+1)/6 " et " (n(n+1)/2)^2 "
il suffit juste de rajouter le terme n+1 et on tombe sur " (n+1)(n+2)(2n+3)/6 " et " ((n+1)(n+2)/2)^2 " et le tour est joue
mon probleme est que je n'arrive pas a trouver comment on est tombe sur ces expression
et par exmple comment je dois faire pour trouver
1^4+2^4+...+n^4
ou
1/1^3+1/2^3+...+1/n^3

Voila
j'aurais aime trouver tout seul mais j'y arrive pas
et je m'excuse pour ma nullite au pres des mathematiciens du forum

[XENSECP]

Hum tu veux trouver la formule de la somme des n^4 ?

[elmouldi]

Hum tu veux trouver la formule de la somme des n^4 ?

oui entre autres
ou plutot la methode qu'on a utilisé puor n^2 et n^3
tenter de l'appliquer pour n^4

[tize]

Bonjour,
est facile à démontrer...
De là on peut en déduire car :
donc :
on fait la somme de cette dernière égalité pour n=0 à N, on obtient à gauche :
et à droite :
comme on sait déjà calculer on en déduit .
On peut appliquer la même méthode pour calculer de proche en proche

[elmouldi]

Bonjour,
est facile à démontrer...
De là on peut en déduire car :
donc :
on fait la somme de cette dernière égalité pour n=0 à N, on obtient à gauche :
et à droite :
comme on sait déjà calculer on en déduit .
On peut appliquer la même méthode pour calculer de proche en proche

Je pense avoir compris la methode mais j'ai du mal a l'appliquer pour pourrais tu s'il te plait me la faire

[elmouldi]

Je retire ce que j'ai dit plus haut je viens de tester pour les carrés les cubes et les 4emes et ça marche
merci beaucoup

[Lierre Aeripz]

De manière plus systèmatique, on a

où les B sont les polynômes de Bernoulli.

[elmouldi]

De manière plus systèmatique, on a

où les B sont les polynômes de Bernoulli.

merci pour la precision

pourrais je demander la meme chose pour les suites harmoniques

ou la somme des inverses de carres et de cubes ? :triste:

[Lierre Aeripz]

Les sommes d'inverses sont beaucoup plus compliquées. Il n'existe pas d'expression simple des sommes partielles, et la valeur de la somme totale n'est connue que pour les valeur paire des exposant.

[elmouldi]

Les sommes d'inverses sont beaucoup plus compliquées. Il n'existe pas d'expression simple des sommes partielles, et la valeur de la somme totale n'est connue que pour les valeur paire des exposant.

ok je comprends bien mais si je peux j'aimerais poser 2 question

1/ s'il n'y a pas une (ou des) formules toutes pretes n'y aurait il pas une methode de proceder ou de regrouper

2/ puis qu'on y est au suites inverses comment fait on pour connaitre leur limites, surtout celles qui ont de limites transcendantes tel que PI/4 ou PI/6....etc

je suis desolé je pose peut etre des question betes mais je n'arrive pas a trouver des reponses sur google
un truc detaille pour les simples d'esprits comme moi :briques:

[ffpower]

c loin d etre des questions betes.d ailleurs rien que le fait de se poser ces questions plutot que d avaler des formules toutes faites,c deja pas bete en soi^^.les methodes les plus connues utilisent de la theorie des series de fourier.je sais qu il existe une demo elementaire mais me souviens plus trop,si je la retrouve je te previens(si qqun a le livre "raisonnements divins" sous la main,qu il previenne,c dedans)
ps:la somme des 1/n^2 c est pi^2/6

[elmouldi]

c loin d etre des questions betes.d ailleurs rien que le fait de se poser ces questions plutot que d avaler des formules toutes faites,c deja pas bete en soi^^.les methodes les plus connues utilisent de la theorie des series de fourier.je sais qu il existe une demo elementaire mais me souviens plus trop,si je la retrouve je te previens(si qqun a le livre "raisonnements divins" sous la main,qu il previenne,c dedans)
ps:la somme des 1/n^2 c est pi^2/6

justement c'est ce que j'aimerais trouver
les limites et le terme general et quelques demonstration basique que je prendrais comme base

merci en tout cas :++:

[emdro]

2/ puis qu'on y est au suites inverses comment fait on pour connaitre leur limites, surtout celles qui ont de limites transcendantes tel que PI/4 ou PI/6....etc

Bonsoir,

On utilise l'analyse de Fourier, et la relation de parseval (qui en termes physiques exprime que l'énergie du signal est la même que l'on utilise la décomposition de f ou pas en série de Fourier).

je suis desolé je pose peut etre des question betes mais je n'arrive pas a trouver des reponses sur google
un truc detaille pour les simples d'esprits comme moi

Ces questions sont loin d'être bêtes. Elles sont d'ailleurs rares, les questions bêtes!

[emdro]

La preuve dont parlait ffpower est ici.

Bonsoir.

NB Merci pour l'info!

[ffpower]

en fait c est de celle juste apres que je parlais(coupee snif) encore plus simple,mais bon celle la est pas trop mal non plus

[elmouldi]

merci beaucoup a tous les 2 je vais essayer de trouver ce livre
et bosser un peu