Terme général d'une suite définie par récurrence

[Dinozzo13]

Bonjour, aujourd'hui je cherche à déterminer le terme général d'une suite définie par récurrence sous une autre forme.

Soit la suite défini pour tout par : .

Je défini une suite auxiliaire, soit la suite définie par où .

Je cherche ensuite le réel en fonction de et tel que la suite soit géométrique pour en déduire en fonction de et puis en fonction de et .

:





Or est une suite géométrique ssi
Donc est une suite géométrique de raison et de premier terme , par conséquent, pour tout :

De plus :
donc :

Est-ce correct selon vous ?

[Rebelle_]

Coucou !

Désolée, je n'ai pas pu m'empêcher de venir faire un tour sur ton topic malgré l'heure qu'il est
Je crois que j'avais fait un peu la même chose que toi ici : http://maths-forum.com/showthread.php?t=107830.
Enfin ça y ressemble non ?

Bonne journée =)

[Ben314]

C'est correct SAUF qu'il faut (évidement) écrire quelque part que doit être non nul pour pouvoir diviser par 1-a !!!

[euler21]

C'est correct SAUF qu'il faut (évidement) écrire quelque part que doit être non nul pour pouvoir diviser par 1-a !!!

Bonjour Ben
tu veux dire a différent de 1 ??

[Dinozzo13]

Salut à tous !

oui; pardon, j'ai oublié de préciser dans l'énoncé que a est différent de 0 et 1.
Faut-il préciser si ? Ou cela ne servirai à rien ?

[Nightmare]

Salut,

eh bien, pour b=0 le résultat trouvé est-il faux?

[Dinozzo13]

J'ai essayé de refaire la même chose avec la suite (u_n) définie pour tout par : où a différnet de 0 et 1 et b non nul.

Je défini une suite auxiliaire, soit la suite définie par où .

Mais après je ne vois pas comment trouver de telle manière que la suite soit géométrique.
Il y a peut-être une suite auxiliaire plus avantageuse à choisir ?

Une petite idée ? Merci ^^

[Dinozzo13]

Salut,

eh bien, pour b=0 le résultat trouvé est-il faux?

Salut :++:
Non, il n'est pas faux donc on peux considérer que le cas b=0 n'est pas à écarter, merci ^^

[Nightmare]

prend alpha racine de l'équation x²=ax+b pour voir !

[Pythales]

peut s'écrire
et par identification ...

[Dinozzo13]

peut s'écrire
et par identification ...

Oui, je veux bien mais que représente alpha et beta ?

@Nightmare : Si je prends alpha racine de l'équation x²=ax+b alors je dois résoudre une équation avec deux paramètre, comment faire ???!!!
D'ailleurs pourquoi l'équation x²=ax+b ?

[Nightmare]

Ben, tu résous comme on fait d'habitude, avec le discriminant, sauf que tes solutions contiendront a et b, c'est normal.

Si je pose alors

Pour avoir une suite géométrique, il suffit donc de choisir tel que , ie tel que !

[Dinozzo13]

Ok, je vais regarder ça et je te tiens au courant.

(Je suis au CDI et ça va pas tarder à sonner donc je regarderai ça en rentrant ^^)

[Dinozzo13]

Je défini une suite auxiliaire, soit la suite définie par où .

Par contre, je ne saurai exprimer en fonction de n que si alpha vaut 1, sinon comment faire ?

[Ben314]

Si tu continue dans cete logique, il te faut remarquer que, en général (quel est l'exeption ?) il y a DEUX alpha qui marchent ce qui te donne DEUX équations concernant U(n+1) et Un donc...

[Pythales]

Partons de soit
Par identification avec :


et sont racines d'une équation du second degré, et en posant on obtient
etc...