Théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle

[Wenneguen]

Bonjour,

après avoir montré que la fonction définie sur par est intégrable sur ]0, 1], je dois montrer que son intégrale vaut

( je devrai ensuite trouver un équivalent de , mais je n'en suis pas encore là ! )

Il me semble que pour montrer ce genre d'égalité il faut utiliser le théorème d'intégration terme à terme sur un segment ; j'ai donc vérifié ses 2 premières hypothèses, à savoir que est continue par morceaux et intégrable sur ]0, 1] et que la série converge simplement sur vers .
J'ai été amené à considérer de façon à avoir .

Mon problème arrive lors de la vérification de la troisième hypothèse du théorème, à savoir vérifier que la série converge : cela revient donc à montrer que la série de terme générale converge, mais je n'y arrive pas.

Peut-être pourriez-vous m'éclaircir ? :we:

Merci beaucoup !

[Le_chat]

Salut, je te propose un truc qui a l'air de marcher:

Commence par une ipp, en "primitivant" x^n*ln(x) et dérivant ln(1-x). Attention à choisir la bonne primitive qui fasse bien converger les intégrales.

Ensuite en utilisant ln(x) inférieur à x-1, on tombe sur le résultat.

Mais ça demande un peu de calcul.

[Wenneguen]

Salut, je te propose un truc qui a l'air de marcher:

Commence par une ipp, en "primitivant" x^n ln(x) et dérivant ln(1-x). Attention à choisir la bonne primitive qui fasse bien converger les intégrales.

Ensuite en utilisant ln(x) inférieur à x-1, on tombe sur le résultat.

Mais ça demande un peu de calcul.

Merci, mais j'ai bien peur d'avoir du mal...

Après une première IPP pour calculer une primitive de , ce qui m'a donné pour résultat , l'intégrale que tu m'as conseillée me donne



je suppose que je m'y prends mal ? :zen:

Je suis étonné qu'il y ait autant de calculs, ça n'est " que " un exercice CCP PC... :hein:

[Le_chat]

Ben voilà pour les calculs. Entre crochet ça fait 0, en utilisant la majoration de ln(x) que j'ai donné ensuite on trouve que c'est un O(ln(n)/n^2) donc que la somme converge. Mais les calculs ne sont pas aisés..

Le (fn) que tu as pris est donné dans l'énoncé?

Moi j'aurais plutot fait une ipp avant tout, pour enlever le ln(x)/x (qui se primitive en 1/2ln(x)^2), et ensuite permuter des intégrales pour montrer que ton truc= 1/2* somme de n=0 à l'infini des intégrales entre 0 et 1 de ln(x)^2*x^n dx, ce qui se calcule (et on tombe sur ce que tu veux obtenir)

[Wenneguen]

Ben voilà pour les calculs. Entre crochet ça fait 0, en utilisant la majoration de ln(x) que j'ai donné ensuite on trouve que c'est un O(ln(n)/n^2) donc que la somme converge. Mais les calculs ne sont pas aisés..

Le (fn) que tu as pris est donné dans l'énoncé?

Moi j'aurais plutot fait une ipp avant tout, pour enlever le ln(x)/x (qui se primitive en 1/2ln(x)^2), et ensuite permuter des intégrales pour montrer que ton truc= 1/2* somme de n=0 à l'infini des intégrales entre 0 et 1 de ln(x)^2*x^n dx, ce qui se calcule (et on tombe sur ce que tu veux obtenir)

Non le fn n'était pas dans l'énoncé

[Le_chat]

Bon alors oublie, ça ne permet pas d'arriver facilement au résultat. Fais une première ipp, puis un dse de 1/(1-x) et ça marche tout seul.

[Wenneguen]

Merci j'ai réussi, c'est plutôt sympa quand on arrive au bout :lol2: