Somme directe

[capitaine nuggets]

Bonjour, en considérant deux sev F et G d'un même ev E, pourriez-vous m'expliquer la différence principale entre "F et G sont en somme directe" et "F et G sont supplémentaires" svp.

Merci d'avance.

[Monsieur23]

Aloha,

En fait, 'être supplémentaire' implique 'être en somme directe', mais pas l'inverse.

'F et G sont en somme directe' veut dire que tout élément u de F+G s'écrit de façon unique u=f+g, avec f dans F et g dans G.

'F et G sont supplémentaires' veut dire qu'ils sont en somme directe, et aussi que F+G est l'espace E tout entier.

[capitaine nuggets]

Merci pour cette précision :+++:

Peut-on généraliser la notion de "somme directe" et de "supplémentaire" pour n sev ?

[Kikoo <3 Bieber]

Merci pour cette précision :+++:

Peut-on généraliser la notion de "somme directe" et de "supplémentaire" pour n sev ?

Oui, tu aurais donc

[capitaine nuggets]

Oui, tu aurais donc

Oui, j'ai déjà croisé cette notation, sans vraiment savoir ce qu'elle signifie en termes de conditions.
Par exemple, pour trois sev F,G et H de E, à quelle(s) condition la somme F+G+H est directe ?

[Monsieur23]

C'est la même définition : tout élément u de F+G+H s'écrit de façon unique u=f+g+h, avec f dans F, g dans G et h dans H.

[Archytas]

Oui, j'ai déjà croisé cette notation, sans vraiment savoir ce qu'elle signifie en termes de conditions.
Par exemple, pour trois sev F,G et H de E, à quelle(s) condition la somme F+G+H est directe ?

Salut tu peux considérer L=G+H tu as alors F+L et tu appliques la définition à F+L puis à G+H si ça t'aide à y voir clair sinon de manière équivalente ta somme est directe si l'intersection de chacun de tes espaces avec les autres est l'élément neutre {0}.

PS: l'intersection réduite à l'élément neutre est souvent plus facile à démontrer que l'unicité de l'écriture f+g+h mais elle ne fournit pas l'information justement sur cette décomposition unique, donc la méthode est à adapter suivant les besoins !

[capitaine nuggets]

Oui, tu aurais donc

Oui, mais je veux dire, si les E_i désigne des sev de E alors les E_i sont supplémentaire entre eux.
Or pour deux sev F et G de E on ssi et .
Qu'en est-il pour plus de deux sev ?

[Doraki]

sinon de manière équivalente ta somme est directe si l'intersection de chacun de tes espaces avec les autres est l'élément neutre {0}.

Ben non, t'es en train de dire qu'un plan c'est la somme directe de tout plein de droites.

Par contre c'est équivalent à ce que pour tout i, l'intersection de Ei avec Vect(la réunion pour i différent dej des Ej) est {0}.

[Kikoo <3 Bieber]

Ok je vois ce que tu veux dire !
Pour tout x de E, il existe un unique n-uplet de E1xE2x...xEn tel que x s'écrive comme combinaison linéaire des éléments de cet n-uplet.

[capitaine nuggets]

Ok je vois ce que tu veux dire !
Pour tout x de E, il existe un unique n-uplet de E1xE2x...xEn tel que x s'écrive comme combinaison linéaire des éléments de cet n-uplet.

Non, toujours pas :lol3:
Je veux dire, en terme de sev, à quelle(s) condition(s) ?

J'aurai proposé ça si je n'avais pas vu que c'était faux avant :
.

Du coup, je cherche ce qu'il manque :we:

[Archytas]

Ben non, t'es en train de dire qu'un plan c'est la somme directe de tout plein de droites.

Par contre c'est équivalent à ce que pour tout i, l'intersection de Ei avec Vect(la réunion pour i différent dej des Ej) est {0}.

Je ne vois pas bien la différence :hein: , le fait que deux espaces soient en somme directe est équivalent au fait que leur intersection soit l'élément neutre. Et donc oui un plan contenant 0 est en somme directe avec tout plein de droite contenant O aussi. Et le fait que l'intersection de chacun avec les autres soit l'élément neutre suffit à dire que la somme est directe. Non !?

[Doraki]

Non.

Prends E = R², E1 = la droite x=0 ; E2 = la droite y=0 ; E3 = la droite x=y.

E1 et E2 sont en somme directe.
E1 et E3 sont en somme directe.
E2 et E3 sont en somme directe.
E1, E2 et E3 ne sont pas en somme directe : (1,1) s'écrit sous la forme x1+x2+x3 avec xi dans Ei, mais d'une infinité de manières différentes.

Si ça peut t'aider, dis-toi que l'opérateur "somme directe" est associatif,
et que devrait vouloir dire la même chose que et que . Et comme on sait ce qu'est une somme directe de 2 trucs, et bah ça t'explique ce qu'est une somme directe de 3 trucs.

C'est immédiat quand tu pars de la bonne définition (tout élément de la somme se décompose de manière unique)

[Archytas]

D'accord, je vois, effectivement je m'étais emmelé les pinceaux ! Merci pour ces eclaircissements et désolé d'avoir raconté des conneries :triste: !

[Kikoo <3 Bieber]

Non, toujours pas :lol3:
Je veux dire, en terme de sev, à quelle(s) condition(s) ?

J'aurai proposé ça si je n'avais pas vu que c'était faux avant :
.

Du coup, je cherche ce qu'il manque :we:

Ce que je t'ai donné est une définition de "Les E_i sont supplémentaires dans E."

[capitaine nuggets]

Ok, merci à vous pour vos éclaircissement :++:

[Luc]

Bonjour, en considérant deux sev F et G d'un même ev E, pourriez-vous m'expliquer la différence principale entre "F et G sont en somme directe" et "F et G sont supplémentaires" svp.

Merci d'avance.

Être en somme directe est une notion intrinsèque, elle ne dépend pas de l'espace ambiant E.
Être supplémentaire est une notion qui dépend de l'espace ambiant E. Si on injecte E et ses sous espaces dans un espace plus gros E', F' et G', images respectives de F et G par cette injection, ne seront plus supplémentaires dans E', mais ils seront toujours en somme directe.

En revanche on a l'équivalence "F et G sont en somme directe" et "F et G sont supplémentaires dans ". Il faut toujours préciser l'espace ambiant quant on parle de supplémentaires.