Orthogonalite et somme directe

[road runner]

bonsoir
1)comment montrer que si E=somme directe de F et G
alors E*=somme directe de (orthogonal de F) et de (orthogonal de E)
2)comment montrer que Transposé (f o g)=Trans g o Trans f
merci d'avance

[abel]

1°) Tu parles de l'espace dual E* ?....Es tu sûr de la formule que tu avances ?
2°) Je pense qu'en faisant un calcul via les matrices ca devrait passer...(en calculant le coef (i,j) de t(Mf*Mg) et celui de t(Mg)*t(Mf) (doit juste y avoir une histoire d'interversion de signe somme)

[road runner]

c'est ce que j'ai sur le livre

[yos]

Bonsoir.
Si , et x dans E, tu as x= y+z, avec , f(x)=f(y)+f(z)=0+0=0, donc f est la forme linéaire nulle.
Ainsi .
Soit tu achèves avec des arguments de dimension, soit tu exhibes une décomposition de f .

[fahr451]

bonsoir

soit phi dans E* on définit f et g dans E* par

f(x) = phi(x) si x ds F et f(x) = 0 si x dans G et le contraire pour g
on a bien f dans G° (ortho) et g dans F°

et f + g = phi


de plus F° + G° est directe car si phi s annule totalement sur F et G elle est nulle

[abel]

Ce qui me gêne dans cette formule c'est que pour moi la notation E* signifie l'espace des formes linéaires de E dans K et ta formule suggère qu'un espace d'application linéaire est une somme de deux espaces d'élements de E....
Tu ne voulais pas dire : E(ortho)=F(ortho)+G(ortho) (somme directe) ?

EDIT : j'suis pas sur d'avoir tout compris

[road runner]

est ce que c'est juste de faire ceci:
et on a aussi donc reste a avoir dim E* =
qu'est ce que vous en dites ?

[yos]

Ce qui me gêne dans cette formule c'est que pour moi la notation E* signifie l'espace des formes linéaires de E dans K et ta formule suggère qu'un espace d'application linéaire est une somme de deux espaces d'élements de E....
Tu ne voulais pas dire : E(ortho)=F(ortho)+G(ortho) (somme directe) ?

EDIT : j'suis pas sur d'avoir tout compris

est l'ensemble des formes linéaires sur E dont le noyau contient F. Attention, on est dans un bête ev. Pas dans un espace euclidien.
Maintenant si tu colles un produit scalaire, je te laisse découvrir la rela tion entre le que tu connais et le que tu viens de découvrir apparemment.

[road runner]

alors c'est juste ou pas ?

[fahr451]

bonsoir

soit phi dans E* on définit f et g dans E* par

f(x) = phi(x) si x ds F et f(x) = 0 si x dans G et le contraire pour g
on a bien f dans G° (ortho) et g dans F°

et f + g = phi


de plus F° + G° est directe car si phi s annule totalement sur F et G elle est nulle

alors c'est juste ou pas ?

[abel]

F^o est l'ensemble des formes linéaires sur E dont le noyau contient F. Attention, on est dans un bête ev. Pas dans un espace euclidien.
Maintenant si tu colles un produit scalaire, je te laisse découvrir la rela tion entre le F^{\perp} que tu connais et le F^o que tu viens de découvrir apparemment.

Effectivement je ne connaissais pas. Merci de cette précision.