Somme directe de sev

[ikichie]

bonjour
voila je n'arrive pas a trouver la solution a ce problem
soit e l'espace vectoriel des fonctions dans R
P ensemble des fonctions paires
I l'ensemble des fonctions impaires
j'ai déjà montrer que P et I sont des sous espace vectoriel
il me reste plus qu'a montrer que E est une somme directe de I et P
et la je ne sais par ou commencé, quelqu'un pourrait me donner une indication si possible ! , merci ^^

[leon1789]

Pour toi, c'est quoi une somme directe des 2 sous-espaces ?

[barbu23]

Il s'agit de montrer que :
I suffit de voir que :
: ;
:
Donc :
Maintenant, il te suffit de verifier que :

[ikichie]

Pour toi, c'est quoi une somme directe des 2 sous-espaces ?

A,B sont une somme directe de E si AuB=E et A inter B= ensemble vide (d'une maniere ensembliste
sinon c'est E=A+B (==) { quelque soit x£E, il existe x1£a, x2£b, tels que x1+x2=x}

barbu merci pour la solution, c'était finalement plus technique qu'autre chose ^^

je poste de suite un autre problème que j'ai pue résoudre mais qui me laisse dubitatif

[ikichie]

problem:
soit E le sous espace vectoriel du R ESPACES VECTORIEL des application dans R engandré par {sin, cos}
1- montrer que {sin, cos} est une base de E
2- D l'endomorphisme de E tels que d(sin)=cos et d(cos)=sin
monterz que D est un zero du polynome p(x)=x^2+1

je commence par poster ma solution de la premiere reponce

on doit juste montrez que sin et cos sont independant
asin(x)+bcos(x)=0
pour x=0 on a bcos(0)=0 (==) b=0
puis pour x=pi/2
asin(pi/2)=0 (==) a=0
donc asin(x) + bcos(x)=0 ==) a=b=0
voila ^^, ce qui me fais douter c'est que pour que n vecteur soit independants, il faudrait qu'ils soit non nul !!!

[leon1789]

barbu merci pour la solution, c'était finalement plus technique qu'autre chose ^^

...surtout que barbu n'a pas tout démontré réellement mais juste "balancé" une (bonne) idée