Solution maximale edo2

[allmess]

Bonjour,

On me demande dans un exercice de montrer qu'il existe une unique solution (édit: maximale) de ce problème qui vérifie et , et qu'elle est définie sur .
Voici le problème en question :
Soit et ,
.

J'ai montré comme on me le demandais dans les premières questions que l'équation se mettais sous la forme avec , ,

Mon problème est que je ne sais pas comment répondre à la question.

Merci d'avance pour votre aide !

[L.A.]

Bonjour,

c'est une équation différentielle linéaire coefficients constants, les solutions maximales sont donc toujours définies sur R tout entier. Pour résoudre l'équation homogène associée (b=0) on utilise l'exponentielle matricielle exp(tA).

Sinon tu peux redémontrer tout ça à la main en "découplant" le système, c'est-à-dire en diagonalisant ta matrice, puis en utilisant l'exponentielle classique.

[allmess]

Merci pour ta réponse !
Malheureusement j'ai oublié le mot le plus important dans l’énoncé !
Il s'agite de montrer qu'il existe une unique solution maximale de ce problème qui vérifie les conditions initiales qu'elle est définie sur R .
Désolé pour la coquille, et merci d'avance !

[L.A.]

Oui, mais si on montre d'emblée que la solution est définie sur R, elle est automatiquement maximale. Quant à l'unicité, soit on invoque le théorème de Cauchy-Lipschitz, soit c'est du cours pour ce genre de système linéaire à coefficients constants, soit etc.

Tout dépend de ce que contient ton cours. Partons du principe qu'on fait tout à la main, il s'agit alors de diagonaliser, puisque si tu as un système avec une matrice diagonale nxn, c'est comme si tu avais n équations scalaires indépendantes du type , d'où . On constate que ces fonctions sont bien définies sur R tout entier.

[allmess]

Ok, je commence à comprendre, merci !
Je pense qu'il faut tout faire à la main.
Si j'ai bien compris : pour trouver la solution homogène je cherche donc à diagonaliser A. Alors, avec les conditions initiales (et en ajoutant une solution particulière ( convient)), j'ai unicité de ma solution, bien définie sur R comme tu me l'as fait remarqué.

Mon problème est alors que comme je ne connais pas et , A n'est pas forcément diagonalisable...

Un grand merci d'avance !

[L.A.]

Effectivement... si alors la matrice n'est pas diagonalisable.

Dans ce cas, l'astuce est de poser , puis de trouver une equa diff vérifiée par

Rmq : on définit ainsi parce que le polynôme caractéristique est