Singularité essentielle

[Cam12]

Je considère P= {z complexes tels que Re(z)>=0} et f une fonction holomorphe sur D*(0;1) à valeur dans P.

Je veux montrer que 0 n"est pas une singularité essentielle de f mais que c'est un point régulier.
J'ai raisonné par l'absurde en supposant que 0 en était une donc :
(quand z tend vers 0)

Je ne sais pas comment continuer...

[Doraki]

si f est à valeur dans P seulement, son image autour de 0 devrait avoir du mal à être dense dans C tout entier.

[Cam12]

Merci pour ta réponse,
donc il suffit juste de dire que f(z) quand z tend vers 0 peut être approchée par un b avec une partie réelle négative pour en conclure que c'est absurde?

Pour montrer que c'est un point régulier ça me semble plus compliqué : je connais le théo de Riemann : 0 point régulier <=> lim zf(z)=0 quand z tend vers 0. Le problème est que je ne connais pas grand chose sur f mise à part qu'elle prend ses valeurs dans P.

[Doraki]

Déjà, est-ce que 1/z, 1/z² et consorts sont à valeurs dans P autour de 0 ?

[Cam12]

J'ai encore du mal à manipuler ces notions avec les complexes. 1/z peut tendre vers - l'infini si z tend vers 0 donc non ce n'est pas dans P.