Singularité essentielle

[Joker62]

Hello tous !!!
Me voilà en pleine révision d'analyse complexe et comme j'ai pas mal galéré pour cet exo, j'aimerais bien avoir confirmation

Donc j'expose le problème :

On se donne a une singularité essentielle pour f et g une fonction entière non constante
On doit montrer que a est encore une singularité essentielle pour gof !

Donc j'suis parti de la caractérisation suivante :

a est une singularité essentielle pour f n'existe pas

Je commence donc par supposé que a n'est pas une singularité essentielle pour gof
Ainsi, existe je la note l
Par caractérisation d'une limite on peut trouver un epsilon e et un delta d tel que

Z € D(a,d) => |gof(Z)| € D(l,e) = ] l-e ; l+e [

Cependant, on sait que f admet une singularité essentielle en a
Par le grand théorème de Picard, pour tout r>0 tout Z € C ( sauf peut-être une valeur exceptionnelle ) est atteint par f dans D*(a,r)
En particulier, on peut trouver w € D*(a,d) tel que f(w) = Z

On a alors, |gof(w)| € D(l,e)
D'où |g(Z)| € D(l,e)

Et donc, que g est bornée
Or par Liouville, entière + bornée => Constante
Ce qui est absurde par hypothèse sur g

Voilà voilà, j'ai l'impression que ça devient suspect au niveau de la limite de |gof| que j'ai appelé l qui même si elle existe peut très bien ne pas être finie non ?
Dîtes ce que vous en pensez pour voir
Merci

Bisous

[yos]

ça devient suspect au niveau de la limite de |gof| que j'ai appelé l qui même si elle existe peut très bien ne pas être finie non ?

Salut.
Bien sûr : elle peut être infinie (si a est un pôle).
Pour le reste, je dirais qu'il faut essayer de rester élémentaire et laisser les bombes atomiques (Picard) au placard. Sinon risque d'escalade...

[Joker62]

Lol oki Merci Yos ;)
J'vais revoir un peu la forme alors.

[ffpower]

En utilisant que l image de f est dense ca doit suffire.et si jamais c un pole,ca doit a peu pres marcher ton truc,tu dois pouvoir montrer de la meme maniere que g est a valeur dans tout voisinage de l infini

[tize]

Bonjour Joker62,
Connais tu le théorème de Casorati-Weierstass ? C'est un peu comme le théorème de Picard en beaucoup moins fort (il y est plutôt question de densité) mais très facile à montrer.
D'autre part si gof(z) n'admet pas une singularité essentielle en a alors existe

[Joker62]

Salut vous deux
Donc merci pour la participation déjà et oui je connais bien le théorème de Casoreti-Weierstrass, il vient juste avant celui de Picard dans mon cours.

Je vais chercher de ce côté alors merci ;)

[ffpower]

Weirstrass juste avant picard..Le niveau monte vite lol

[Joker62]

Faut avouer que le cours est assez féroce lol ! :)
Enfinnn bref :)

Le problème donc, c'est que la seule CNS que je possède sur les singularité essentielle c'est cette histoire de limite qui n'existe pas
Donc bon, comme prouver que quelque chose n'existe pas c'est pas super facile, je le prends par l'absurde !!!

Mais pour moi ça revient au problème du départ sur la finitude ou non de cette limite.
J'vois pas trop comment bouger à partir de là et surtout j'vois pas en quoi C-W va me servir :^)
C'est effrayant :D

[tize]

g est non constante donc il existe c et d tels que
Et bien d'après le théorème de Casorati-Weierstass, on peut trouver deux suites : et telles que et que dire de et ?

[Joker62]

Hum !
g entière donc g continue
Donc

g(f(a_k)) ---> g(c) et g(f(b_k)) ---> g(d)

Donc gof n'a pas de limite en a
Mouah pourrav moi !
Mercii José (ki)