Borne essentielle supérieure d'une famille de variables aléatoires

[clicli]

Bonjour,

Je cherche un contre exemple: peut-on trouver une famille de variables aléatoires dont la borne essentielle supérieure ne soit pas une variable aléatoire.
Il faut donc qu'elle ne soit pas mesurable...

Merci pour vos idées/exemples!

[therese]

Je pense, qu'il faut que la famille de variables aléatoires soit infinie et dénombrable ou prenne un nombre infinie de valeurs possibles pour un évènement. Comme ca, la borne essentielle supérieure pourra tendre vers l'infini...

Je sais pas si je t'aide beaucoup mais je ne suis pas expert en la matière...

[clicli]

Une idée:

On considère A un ensemble non mesurable de R-.

On construit la famille (Xn)n de variables aléatoires de R- muni de sa tribu de Borel dans R muni de sa tribu de Borel:

Xn (x)= -1/n

On prend comme borne ess sup S la fonction qui vaut zéro partout sauf sur A où elle vaut 1.

On a alors ImageRéciproque({1}) non mesurable.

Mon problème: est ce que S est un ess sup, sachant qu'elle est strictement positive sur un ensemble qui devrait être de mesure nulle, mais qui là n'est pas mesurable?