Simplifications d'écriture

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir,

J'ai simplifié en et


en

Pourriez-vous me dire si c'est juste ? Merci d'avance !

[DamX]

Bonsoir,

J'ai simplifié en et


en

Pourriez-vous me dire si c'est juste ? Merci d'avance !

Oui c'est ca

[Kikoo <3 Bieber]

Merci Damien ;)

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

J'aimerais calculer un équivalent simple de (on se trouve avec k puissances itérées de x) en 0+.

Pour commencer, je sais que si , alors pour tout n de .
Ici, il me faudrait trouver quelque chose de similaire, mais je ne me vois pas répéter l'opération, sachant que trouver un équivalent de x... En plus on ne peut que rarement composer des équivalents et encore moins si l'exposant n'est pas entier naturel. Enfin je pense qu'on se mord la queue.
Sinon j'aimerais bien passer par l'exponentielle, auquel cas on aurait :

Mais là aussi je m'y perds.

Merci pour votre aide.

[Doraki]

Pour avoir un équivalent de x^x^x^x^...^x, il te faut donc un truc simple dont la différence avec x^x^x^...^x (k-1 x) tend vers 0, et donc il faut un truc simple dont la différence avec .... tend très très très vite vers 0 ...

Pour avoir une approximation acceptable de x^truc il faut une approximation bien plus forte sur truc, et ainsi de suite.

Donc les équivalents sont pas tellements adaptés à x^x^..^x.

[Kikoo <3 Bieber]

Pour avoir un équivalent de x^x^x^x^...^x, il te faut donc un truc simple dont la différence avec x^x^x^...^x (k-1 x) tend vers 0, et donc il faut un truc simple dont la différence avec .... tend très très très vite vers 0 ...

Pour avoir une approximation acceptable de x^truc il faut une approximation bien plus forte sur truc, et ainsi de suite.

Donc les équivalents sont pas tellements adaptés à x^x^..^x.

Ok donc je dois rendre x^x^x^x^x...^x négligeable devant un autre truc.
Mais quoi donc ?

[Doraki]

Où j'ai dit ça ?
nan j'ai dit que y'avait pas d'équivalent simple de ton truc.

[Kikoo <3 Bieber]

Où j'ai dit ça ?
nan j'ai dit que y'avait pas d'équivalent simple de ton truc.

Ah bon ?

Enfin chais pas, on peut pas dire 0 alors ? Parce que c'est vachement petit au voisinage de 0+ pour un k assez grand.

[Doraki]

Ah t'avais dit en 0 ? je pensais en + l'infini.
C'est ptetre différent alors.

Ca dépend pas de la parité de k ?

[Kikoo <3 Bieber]

Ah t'avais dit en 0 ? je pensais en + l'infini.
C'est ptetre différent alors.

Ca dépend pas de la parité de k ?

Je ne vois pas en quoi cela peut jouer. On nous donne k entier, c'est tout, après s'il ya distinction des cas, je réfléchis comment on peut faire tourner la chose.

[Skullkid]

Salut, comme Doraki je trouve que l'équivalent dépend de la parité de k. Regarde ce que ça donne pour les premières valeurs de k. Quelle est la limite (je parle pas d'équivalents pour l'instant) de x^x^x quand x tend vers 0 ? Et x^x^x^x ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut, comme Doraki je trouve que l'équivalent dépend de la parité de k. Regarde ce que ça donne pour les premières valeurs de k. Quelle est la limite (je parle pas d'équivalents pour l'instant) de x^x^x quand x tend vers 0 ? Et x^x^x^x ?

Salut Skullkid,

D'accord ! x^x^x quand x tend vers 0 tend vers x^x^0=x^1 qui tend vers 0^1=0
x^x^x^x tend vers x^x^x^0=x^x^1 qui tend vers x^x et avec x tend vers 0, je me retrouve avec qqchose de la forme x^0 -> 0^0=1
Je peux donc penser qu'avec k=2n puissances itérées, je me retrouve avec une limite nulle, et avec k=2n+1 puissances itérées, ma limite vaut 1.

[Skullkid]

[quote="Kikoo 0^0=1[/quote]

Attention tu ne peux pas remplacer la moitié des x par 0 dans les expressions et faire une sauce à ta convenance comme ça. Par exemple quand tu dis que x^x^x tend vers x^x^0 ça ne veut rien dire : x^x^0 dépend de x donc ça ne peut pas être la limite de quelque chose quand x tend vers 0. Il faut poser tes calculs proprement sinon tu vas te retrouver avec des raisonnements faux du genre "x^x tend vers 0^x donc vers 0".

Cela dit ta conjecture est bonne (à la coquille près) : si k est pair ça tend vers 1, si k est impair ça tend vers 0. Reste à le prouver proprement et à trouver un équivalent quand k est impair.

Quand k = 1 ou 2 c'est facile : x ~ x et x^x ~ 1. Cherche un équivalent de x^x^x.

[Kikoo <3 Bieber]

Hmmm... Donc pour reprendre avec la manière d'écrire cela, est-ce que je dois écrire que cela tend vers 0^0^...^0 pour ensuite réduire le nombre en 1 ou 0 et conclure sur la limite ?

Pour ce qui est de ma conjecture, j'ai compté le nombre d'élévations à la puissance. Est-ce qu'il faut compter le nombre d'exposants ?

On a x ~(0) x, et x^x ~(0) 1
Pour x^x^x, je donnerais x, mais ce n'est pas possible vu que la puissance n'est pas entière.

[Skullkid]

Hmmm... Donc pour reprendre avec la manière d'écrire cela, est-ce que je dois écrire que cela tend vers 0^0^...^0 pour ensuite réduire le nombre en 1 ou 0 et conclure sur la limite ?

Surtout pas ! Il n'existe pas de définition "parfaite" de 0^0, dans le sens où une définition de 0^0 ne pourra jamais vérifier tout ce qu'on attend d'elle, en particulier vis-à-vis des limites (par exemple x^x et 0^x tendent vers deux limites différentes quand x tend vers 0). Fais des calculs de limite, en passant par l'exponentielle et tout et tout. Genre x^x = exp(xlnx) tend bien vers 1 puisque xlnx tend vers 0.

Pour ce qui est de ma conjecture, j'ai compté le nombre d'élévations à la puissance. Est-ce qu'il faut compter le nombre d'exposants ?

Ok, oui traditionnellement on compte le nombre de termes, pas le nombre d'opérations.

Pour x^x^x, je donnerais x, mais ce n'est pas possible vu que la puissance n'est pas entière.

Je comprends pas trop où tu vois une puissance non entière dans x...

x^x^x = exp(ln(x)*x^x) donc tu aimerais trouver un équivalent de ln(x)*x^x. Attention, je te rappelle qu'en toute généralité f ~ g n'implique PAS que exp(f) ~ exp(g). Mais ça marche si on rajoute une hypothèse, qui devrait être dans ton cours vu qu'on t'a donné cet exercice.

[Kikoo <3 Bieber]

Surtout pas ! Il n'existe pas de définition "parfaite" de 0^0, dans le sens où une définition de 0^0 ne pourra jamais vérifier tout ce qu'on attend d'elle, en particulier vis-à-vis des limites (par exemple x^x et 0^x tendent vers deux limites différentes quand x tend vers 0). Fais des calculs de limite, en passant par l'exponentielle et tout et tout. Genre x^x = exp(xlnx) tend bien vers 1 puisque xlnx tend vers 0.



Ok, oui traditionnellement on compte le nombre de termes, pas le nombre d'opérations.



Je comprends pas trop où tu vois une puissance non entière dans x...

x^x^x = exp(ln(x)*x^x) donc tu aimerais trouver un équivalent de ln(x)*x^x. Attention, je te rappelle qu'en toute généralité f ~ g n'implique PAS que exp(f) ~ exp(g). Mais ça marche si on rajoute une hypothèse, qui devrait être dans ton cours vu qu'on t'a donné cet exercice.

J'ai cherché cet exercice par moi-même sur le net, mais je devrais quand même avoir vu cette hypothèse, grâce à wiki.

D'accord pour le premier point, je faisais fausse route en considérant que 0^0=1 (enfin je pense que ce résultat est "juste" car posé ainsi, mais non rigoureux).
Pour x^x^x donc, je compose des équivalents par une exponentielle, ce qui n'est possible que si f et g ont même limite en 0+. Je peux multiplier des équivalents, mais pour ce qui est de trouver un équivalent simple de ln(x) en 0...

A moins qu'en 0, un équivalent simple de ln(x) est ln(x), auquel cas, x^x*ln(x) ~(0+) ln(x) donc comme x^x*ln(x)/ln(x) ->(0) 1, je peux composer par l'exponentielle et cela me donne du x^x^x=exp(x^x*ln(x)) ~(0) exp(ln(x))=x

[Skullkid]

0^0 = 1 c'est une convention qui est très pratique pour présenter des résultats sous forme condensée, mais qui ne peut absolument pas servir dans une démonstration proprement dite.

Pour la composition des équivalents par l'exponentielle, une bonne hypothèse est "si f ~ g et f-g tend vers 0 (ce n'est pas la même chose que "f et g ont la même limite") alors exp(f) ~ exp(g)".

Tu pars de x^x^x = exp(x^x*ln(x)) donc tu veux un équivalent de x^x*ln(x). Tu sais que x^x tend vers 1 donc x^x*ln(x) ~ ln(x). Il reste donc à vérifier que x^x*ln(x)-ln(x) tend vers 0. Si oui, tu as gagné et x^x^x ~ x.

[Kikoo <3 Bieber]

0^0 = 1 c'est une convention qui est très pratique pour présenter des résultats sous forme condensée, mais qui ne peut absolument pas servir dans une démonstration proprement dite.

Pour la composition des équivalents par l'exponentielle, une bonne hypothèse est "si f ~ g et f-g tend vers 0 (ce n'est pas la même chose que "f et g ont la même limite") alors exp(f) ~ exp(g)".

Tu pars de x^x^x = exp(x^x*ln(x)) donc tu veux un équivalent de x^x*ln(x). Tu sais que x^x tend vers 1 donc x^x*ln(x) ~ ln(x). Il reste donc à vérifier que x^x*ln(x)-ln(x) tend vers 0. Si oui, tu as gagné et x^x^x ~ x.

Je préfèrerais vérifier que (x^x*ln(x))/ln(x) tend vers 1
Dans ce cas-là, par croissance comparée, xln(x) tend vers 0 en 0 donc e^{xln(x)} tend vers e^0=1

[Skullkid]

Je préfèrerais vérifier que (x^x*ln(x))/ln(x) tend vers 1

Ouais mais ça sert à rien, à part à dire que x^x*ln(x) ~ ln(x). Une fois que tu as ça, il faut regarder x^x*ln(x)-ln(x) et montrer que ça tend vers 0.

[Kikoo <3 Bieber]

Ouais mais ça sert à rien, à part à dire que x^x*ln(x) ~ ln(x). Une fois que tu as ça, il faut regarder x^x*ln(x)-ln(x) et montrer que ça tend vers 0.

Je vais sans doute paraître con, mais je ne vois pas comment on peut le faire ^^