Démonstration ecriture décimale qui termine

[Argentoratum]

En décomposant en produit de puissance de nombres premiers?

[Doraki]

Et de simplifier les facteurs que t'as en commun ? Ouais ça marche.
Donc.
Tu as p/q = p'/10^n avec p et q premiers entre eux.
Ca veut dire que p/q est le représentant irréductible de la fraction p'/10^n.
Donc p/q c'est ce que t'obtiens en réduisant p'/10^n.
p' ça peut être n'importe quoi
Décomposer 10^n en facteurs premiers ça donne 2^n.5^n.
Après éventuelles simplifications avec les facteurs premiers de p' , de quelle forme peut être le dénominateur réduit, à savoir q ?

[Argentoratum]

Ben le seul facteur commun possible entre p' et 10^n c'est un facteur de la forme 2^n 5^m, et donc après simplification on trouve q de la forme.

Par contre j'aurais encore besoin d'un coup de main pour la rédaction.

Je reprends tout.

Je viens de me rendre compte que l'on pas démontrer : si (p;q) = 1 alors p/q a une ecriture décimale qui termine.
Mais qu'on l'avait seulement admis.

[Doraki]

dans la question 1, tu as montré que si q s'écrit 2^n.5^m alors pour tout p, la fraction p/q a une écriture qui termine.
Ça tu l'as fait au début.

dans la question 2, on te demande de montrer que si p/q est irréductible (ou pgcd(p,q)=1, pareil), alors tu as l'équivalence : l'écriture décimale de p/q termine <=> q est de la forme 2^n.5^m.
Donc on te donne une fraction irréductible p/q et tu as 2 choses à montrer.
le sens => : si l'écriture termine alors q s'écrit 2^n.5^m.
Ça tu viens de le faire normalement.
et le sens <= : si q s'écrit 2^n.5^m alors l'écriture termine.
Mais ça c'est le résultat de la question 1.

On n'a jamais nulle part voulu montrer ou admettre un truc faux comme si p/q est irréductible alors son écriture décimale termine.

[Argentoratum]

OK merci beaucoup, je vais tenter de rédiger à présent.

Question 1 :
p/q = p/2^n 5^m = p 2^m 5^n / 10^(n+m).

On obtient une fraction de la forme a/ 10^n, donc p/q a une écriture décimale qui termine. // est-ce que c'est à démontrer ou c'est une propriété admise ?

Question 2 :

Preuve : "=>"
Comme (p;q) = 1 donc p/q irréductible.
Donc p/q = p'/10^k // mais je sais plus pourquoi

Avant tu disait

Tu as p/q = p'/10^n avec p et q premiers entre eux. Ca veut dire que p/q est le représentant irréductible de la fraction p'/10^n.

Ca me paraissait évident mais là je vois plus pourquoi.

Je poursuis :
Le seul facteur commun possible entre p' et 10^n c'est un facteur de la forme 2^n 5^m, donc après simplification on trouve q de la forme 2^n 5^m.

Preuve : "<="
Cf Question 1.

Merci de ton aide.
Je reviens dans 1 heure.