L1 Explication écriture de arccos (cosx)

[Kreeks]

Bonjour, alors j'ai eu un exercice à faire où l'on me demandait d'écrire x=arcos(cos11) sous la forme
X=a + b*pi.
On m'a expliqué par un exemple comment faire :
On sait que arcos (cos11) = 1.56
On fait 11/pi = 3.5 ( on arrondi a l'entier supérieur ou inférieur) ce qui donne 8 solution :

11-3pi 11-4pi
11+3pi 11+4pi
-11-3pi -11-4pi
-11+3pi -11+4pi

On regarde celle qui nous ramène a 1.56 et on a a et b.

J'ai refais la démarche avec plusieurs nombre et j'ai tout réussi, je voulais simplement savoir si vous pouviez m'expliquer d'où ça sort par ce que j'applique bêtement un exemple et je sais pas si l'ami de L1 également a trouvé la réponse sur internet, a compris un truc que j'ai pas compris ou que notre prof ne nous a pas expliqué quelque chose.
Merci

[pascal16]

Tu peux placer le point sur le cercle trigo.
Il faut choisir dans quelle partie du cercle trigo tu veux la réponse (souvent [0;pi[)
vu que x et -x ont le même cosinus et x et x+2kpi aussi, on peut faire des modif
x=arcos(cos11)
x=11 serait une solution, mais elle n'est pas dans [0;pi[
mais 11, c'est proche de 4pi
x=11-4pi n'est pas dans [0;pi[
on prend l'opposé
x=4pi-11 convient (je pense que c'est pas une valeur approchée qu'on te demande)

on voit qu'en fait x=arcos(cosy) va être séparé en 2 cas
2kpi<= y < 2kpi+1 (on enlève 2kpi)
2kpi+1<= y < 2kpi+2 (on enlève 2kpi puis on prends le signe opposé)

[Ben314]

Salut,
Etant donné un réel C de l'intervalle [-1,1], tu as du voir (et c'est évident sur un dessin) qu'il y a des tas d'angles A différents dont le cosinus vaut C.
Ça provient déjà du fait que sur un dessin, tout les angles de la forme A+2k.pi sont "situés" au même endroit (donc ont le même cosinus) et qu'en plus les angles A et -A, bien que non "situés au même endroit" sur le dessin, ils ont quand même le même cosinus.
Donc quand on connait un réel C de [-1,1] et qu'on cherche un angle A de cosinus C, ben y'a des tonnes et des tonnes de solutions. Par contre (toujours en regardant le dessin d'un cercle trigo.) on voit qu'il y a un et un seul angle entre 0 et pi (inclus) qui donne un cosinus fixé d'avance.
Et c'est cet angle là qu'on a choisi d'appeler l'arccos de C donc par définition, l'arccos de n'importe quoi, c'est toujours entre 0 et pi.
Donc, quand on te demande de calculer arccos(cos(11)), ben ce qu'il faut que tu trouve, c'est l'unique angle A entre 0 et pi (inclus) qui vérifie cos(A)=cos(11).
Or, tu as du voir (et ça se voit facilement sur un dessin) cos(A)=cos(A') si et seulement si A=A'+2.k.pi avec k dans Z ou bien A'=-A+2.k.pi avec k dans Z.
Bilan, parmi les nombres de la forme 11+2k.pi et -11+2k.pi (avec k dans Z), il faut que tu trouve celui qui est entre 0 et pi (inclus). De plus, tu sait dés le départ qu'il y en a un et un seul dans cet intervalle.
Aprés, on peut tout à fait y aller en tâtonnant : 11 c'est pas entre 0 et pi (trop grand) donc on essaye 11-2.pi : c'est toujours trop grand. On essaye 11-4.pi et ce coup çi c'est trop petit (négatif).
Ensuite, comme -11 est clairement trop petit, on essaye -11+2.pi : toujours trop petit (négatif) puis -11+4.pi : là c'est O.K. : c'est bien entre 0 et pi donc c'est lui l'arcosinus.

EDIT : Grilled....

[Lostounet]

Salut,
Ouh là.. ta façon de décrire la chose ... ça parait vraiment très difficile. Alors qu'en réalité, c'est bien plus simple...
En fait il vaut mieux comprendre ce que l'on fait sinon tu ne t'en sortiras pas. Les explications précédentes sont très complètes, ce qui suit n'est qu'une redondance:

Connais-tu la fonction racine carrée ? ? C'est une fonction qui admet une fonction ("réciproque"): la fonction carré. Je veux dire par cela que, ,

Donc si tu as la "racine" d'un nombre, et que tu appliques à cette fonction sa fonction réciproque ("qui fait le contraire"), tu trouves le nombre initial. Attention, l'inverse n'est pas vrai !

Je veux dire par cela que n'est pas égal à x ! Eh oui, cela vaut x si x est positif et sinon -x si x est négatif (par exemple n'est pas égal à 3 mais - (-3). Il faut donc transformer (-3)^2 = 3^2 pour pouvoir te ramener au cas positif.

Pour être plus précis, la fonction racine carrée ne peut pas te retourner un nombre négatif...

Bref, tout cela pour te dire que, cos et arccos jouent le même rôle que x^2 et racine(x) ("Le cos joue le rôle de x^2"). Quel que soit le nombre x,

Mais attention, on n'a pas toujours ! La fonction arccosinus ne peut pas rendre des valeurs qui sont en dehors de l'intervalle (comme la racine ne peut pas te rendre un "-3" en sortie car elle rend des nombres positifs).

Donc ce que tu dois faire avec ton cos(11), c'est essayer de l'écrire comme cos(quelque chose entre 0 et pi). Cela est ton objectif, et pour y arriver tu dois utiliser le fait que cosinus est 2pi périodique ou bien le fait que cos(-x) = cos(x).

Par exemple, car pi/3 est dans l'intervalle [0 ; pi].
Cependant, car -pi/4 n'est pas dans [0 ; pi].
Par contre, comme (car cos(x) = cos(-x)), alors effectivement
.

Dernier exemple n'est pas égal à 2 pi, mais comme alors car 0 est dans [0 ; pi]


Donc ton exemple pour arccos(cos(11)): on écrit d'abord 11 comme 2kpi +- quelque chose:

Tant pis, je vais faire des arrondis: , donc et comme cos(x) = cos(-x), on a et comme 1.56 est justement dans [0;pi], tu peux conclure que arccos(cos(11)) = 1.56