Signature d'une forme quadratique (L2)

[matheuxendetresse]

Bonjour,

Soit un espace vectoriel réel de dimension finie, et que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Soit une forme quadratique sur , définie positive sur et définie négative sur .
Est-ce que l'on a cette propriété:


Si oui, comment on peut l'a démontrer (on prend une base -orthogonal de , et une de ?)
Merci

[Ben314]

Salut,
Si tu réuni tes deux bases -orthogonales pour avoir une base de alors l'image par d'un vecteur de coordonnées dans cette base ça va être pour une certaine matrice correspondant à une application bilinéaire de .

qui te donne bien une décomposition de sous forme de somme de carrés avec les bons signes.

[matheuxendetresse]

Salut,
C'est beau.

J'ai pas pensé à utiliser cette propriété d'additivité des formes quadratiques, si je comprends la matrice est donc la matrice de la forme bilinéaire associée à , mais restreinte à

Merci bcp

[Ben314]

Oui, c'est ça.
Et en fait, si tu connait la forme quadratique sur F et sur H, c'est exactement l'information "qu'il manque" pour pouvoir reconstituer f sur E tout entier. Et il faut donc vérifier que, quelque soit cette application bilinéaire, ça ne change rien à la signature du résultat.

[matheuxendetresse]

Donc, par exemple, si on prend cette forme qui agit sur

Si est symétrique, alors:
où est le produit scalaire canonique, et sont les lignes de
Si est antisymétrique, alors:

Et donc pour (décomposition en matrice symétrique et antisymétrique:

où est symétrique.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Un truc à savoir, et qui est l'argument principal pour le théorème d'inertie de Sylvester.
Soit une forme quadratique sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Alors est la signature de si et seulement si est le maximum des dimensions de sous-espaces sur lesquels est définie positive et le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels est définie négative.

Donc, si tu as un sous-espace de dimension (resp. ) sur lequel ta forme quadratique est définie positive (resp. définie négative) et que est égal à la dimension de l'espace entier, alors est la signature de ta forme quadratique.

[matheuxendetresse]

Bonjour,
Ah, je connaissais pas ce théorème, et c'est direct en l'utilisant.
Merci.