SEV engendré?

[eratos]

Salut les keupins.
J'ai un petit problème, il y a une notion un peu floue pour moi, celle d'espaces vectoriels engendrés. Je me suis familiarisé avec les concepts d E.V et de s.E.V, de combinaisons linéaires, de familles libres ou liée, ce qui est déjà pas mal. Mais j'aimerais passer aux notions de bases et de dimensions. Or, pour avancer, c'est impératif: il faut que je "comprenne".
Là, si je crois ce que je crois, avec un SEV engendré d'un espace vec E, on peut grosso modo reconstruire cet E. et un élément de E pourrait se définir comme combi linéaire d'éléments de SEV(E)?

Un exo pour éclaircir les idées:
On veut savoir si les 3 vecteurs u=(1 -1) ; v=(2 1) et w=(3 2) engendrent R².
(Déjà, ça saute aux yeux, u v et w sont linéairement indépendants). Soit s un vecteur de R², alors il s'écrirait comme ça:
s= au + bv+ cw (avec a, b ,c de R). Et puis.

[vincentroumezy]

Bonjour.
Un sev engendré par une partie A d'un espace vectoriel est le plus petit ev contenant A.
Si A est finie, c'est efectiement l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A.

[eratos]

cimer :zen:

Je reviens d'un exo sur la somme directe de 2 sous espaces. et j'ai besoin d'avis (ça me parait trop simple ce que j'ai fait).

on a V= R²
W engendré par (2, 1) et U engendré par (0, 1)
On cherche à montrer que V=

On prend deux vecteurs w de W qui s'écrit comme (2a, a) avec a R et u =(0, c)U. c réel.
Un vecteur de V, v=(x,y) peut toujours s'écrire comme v= u + w = (2a, a)+(0, c)= (2a, a+c) car il existe toujours a tel que x= 2a et c tel que y= a+ c.
Pour montrer que la somme est directe, on pose a' et c' tel que v=(2a', a'+c')=(2a, a+c) càd a'=a et par suite c' = c ce qui prouve l'unicité? et c'est pas plus sauvage que ça? :zen:

[Trident]

Je reviens d'un exo sur la somme directe de 2 sous espaces. et j'ai besoin d'avis (ça me parait trop simple ce que j'ai fait).

on a V= R²
W engendré par (2, 1) et U engendré par (0, 1)
On cherche à montrer que V=

On prend deux vecteurs w de W qui s'écrit comme (2a, a) avec a R et u =(0, c)U. c réel.
Un vecteur de V, v=(x,y) peut toujours s'écrire comme v= u + w = (2a, a)+(0, c)= (2a, a+c) car il existe toujours a tel que x= 2a et c tel que y= a+ c.
Pour montrer que la somme est directe, on pose a' et c' tel que v=(2a', a'+c')=(2a, a+c) càd a'=a et par suite c' = c ce qui prouve l'unicité? et c'est pas plus sauvage que ça? :zen:

Bonjour.

Attention à la rédaction.

On prend deux vecteurs w de W qui s'écrit comme (2a, a) avec a R et u =(0, c)U. c réel.

On prend pas deux vecteurs w de W mais on prend un vecteur de W et on en prend un autre de U.


Soit u appartenant à U. Alors il existe un réel c tel que u = c(0,1) = (0,c)

Soit w appartenant à W. Alors il existe un réel a tel que x = a(2,1) = (2a,a)

Je suis d'accord.

Ensuite, pour montrer que U+W = { l'ensemble des vecteurs de R² qui peuvent s'écrire sous la forme u+w avec u appartenant à U et w appartenant à W } égal (avec le + entouré) R², il suffit de montrer que tout vecteurs de R² peut s'écrire sous la forme u+w et montrer que l'intersection des deux ensembles U et W est réduite au vecteur nul. C'est à dire que U inter W = {0} où 0 est le vecteur nul de R² : (0,0) [on note souvent 0 au lieu de (0,0) , de même dans R^n , on note 0 au lieu de (0,.....,0) (il y a n zéros) ]

Un vecteur de V, v=(x,y) peut toujours s'écrire comme v= u + w = (2a, a)+(0, c)= (2a, a+c) car il existe toujours a tel que x= 2a et c tel que y= a+ c.

A démonter tout de même !


La deuxième étape est de montrer que l'intersection est réduite au seul vecteur nul.

Pour cela, tu considères un vecteur de R² (x', y') qui appartient à la fois à U et W. Tu traduis tout ceci en un système et tu verras que le seul vecteur qui appartient à U et W est le vecteur nul (0,0). Donc tu en déduiras que U inter W = {0}

Pour montrer que la somme est directe, on pose a' et c' tel que v=(2a', a'+c')=(2a, a+c) càd a'=a et par suite c' = c ce qui prouve l'unicité? et c'est pas plus sauvage que ça? :zen:

Pour montrer que U+W = R² , la démarche n'est pas de montrer que l'écriture de tout vecteur de R² comme somme d'un vecteur de U et d'un vecteur de W est unique.

Rappel :

Montrez que U+W = R²

1° On montre que tout vecteur de R² peut s'écrire comme somme d'un vecteur de U et d'un vecteur de W.

2° On montre que U+W = {0}

Si tu as ces deux conditions, l'écriture est alors unique.

En effet, un théorème dit :

"Si E est un espace vectoriel et si F et G sont deux sous espaces vectoriels de E qui sont supplémentaires (c'est à dire F+G = E (avec le + entouré), alors l'écriture de tout vecteurs de E comme somme d'un vecteur de F et de G est unique)"

La preuve n'est pas bien difficile (essaies de la retenir)

Preuve :

Soit u un élément de l'espace vectoriel E, f un élément du sous espace vectoriel F et g un élément du sous espace vectoriel G.

On a alors u = f + g

On suppose qu'il existe f ' appartenant à F et g ' appartenant à G tel que :

u = f ' + g '

Montrons que f = f ' et g = g ' (ça voudra tout simplement dire qu'en supposant deux éléments de F , f et f ' , et deux éléments de G , g et g ' tels que u = f + g et u = f ' + g' , on aboutit irrémédiablement à la conclusion f = f ' et g = g ', ce qui prouvera l'unicité).

Si u = f + g et u = f ' + g ' , alors on a :

f + g = f ' + g '

soit

f - f ' = g ' - g

Or f appartient au s-e-v (abréviation de sous-espace vectoriel) F.

De même , comme f ' appartient au s-e-v F , l'opposé (- f ' ) appartient toujours à F car F étant un s-e-v , il est stable par produit externer (et - f ' = (-1) * f )

Donc f et (-f ') appartiennent au s-e-v F. Comme F est aussi stable par addition, alors f - f ' appartient au s-e-v F .

On raisonne de la même façon en montrant que g ' - g appartient au s-e-v G .

f - f ' est égal à g ' - g .

Un élément de F est égal à un élément de G donc cet élément appartient à la fois à F et à G .

Donc f - f ' appartient à F et ( g' - g) appartient à G donc f - f ' et g' - g appartiennent à l'intersection F inter G .

Or , comme F et G sont en somme directe, leur intersection est réduite au seul vecteur nul. Tout vecteur appartenant à F inter G n'est autre que le vecteur nul.

Donc :

f - f ' = 0

g ' - g = 0

On en déduit f = f ' et g ' = g . CQFD.

Je fais exprès de bien détailler (car d'une part, ça me fait réviser :ptdr: ) pour que tu comprennes le raisonnement.

[eratos]

merci beaucoup :jap:

[eratos]

Re. j'ai besoin d'un coup de main, pour la rédac' surtout, mais pas que.

l'exo?
Alors on a deux ensembles: le premier (noté D) contient toutes les matrices 3x3 diagonales, çad telles que les coeff diagonaux valent a de R et tout les autres coeff sont nuls). Style:

le deuxième (noté T) contient toutes les matrices 3*3 dont la trace est nulle (çad que la somme des indices diagonaux est nulle). Style:


1) montrer que D et T sont des S.e.v de , c'est fait.
2) montrer que D+T est somme directe.
3) donner une base pour D, T et

donc:
2) Il est évident que l'intersection de D et T est réduit à la matrice nulle. Pour le montrer on prend une matrice A de D, si a=/=0 la trace de A vaut 3a. par conséquent, comme la trace d'une matrice B de T est toujours nulle, la somme d'un truc nul et d'un truc non nul c'est un truc non nul.

3)Base de D: j'ai pris les trois matrices avec les coefficients tous égaux à zéro sauf les coefficients diagonaux qui valent 1(a_{11}=1 pour la première matrice, a_{22}=1 pour la seconde, et a_{33}=1 pour la troisième).

Je sais pas si c'est clair. :marteau:







voilà les matrices de ma base, sauf que "engendrent-elles vraiment tout D?" j'en doute...