Séries (équations différentielles)
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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minidiane
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par minidiane » 19 Juin 2007, 11:12
Bonjour voici un exercice où j'ai la correction mais je ne la comprend pas.
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci.
Chercher les solutions développables en séries entière de l'équation différentielle
x(x²+1)y''+(x²-1)y'=1.
Exprimer ces solutions à l'aide des fonctions Arctan x et ln(1+x²)
Voici la correction.
Soit
on a alors
et
a_nx^{n-2}})
et en remplaçant dans l'équation on a
x(x²+1)
a_nx^{n-2}})
+(x²-1)
d'où
+
a_nx^{n-1}}=1)
^{2}a_{n-1}x^{n}}+\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} {(n+1)(n-1)a_{n+1}x^{n}}=1)
Pour n=0 on a
et pour n>=2 la relation de récurrence
a_{n-1}+(n+1)a_{n+1}=0)
d'où
a_{n-1}}{n+1}.)
On trouve alors
^{k}a_1}{2k+1})
pour k<=0 et
^{k-1}a_2}{k})
On trouve les solutions de la forme
=a_0+\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{2k+1}}{2k+1}+a_2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^{2k}}{2k})
Je ne comprend pas les changements d'indices, comment ont-ils été effectués?
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bruce.ml
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par bruce.ml » 19 Juin 2007, 11:19
mets un \displaystyle devant tes \sum ;)
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thomasg
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par thomasg » 19 Juin 2007, 12:17
Tout d'abord à propos d'indices il me semble que pour y'' la somme commence à n=2.
Pour la suite je vais essayer d'un peu regarder.
A bientôt.
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kazeriahm
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par kazeriahm » 19 Juin 2007, 12:20
mindiane il y a pas mal d'erreurs dans ce que tu as écrit (enfin quelques unes quoi :we: )
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minidiane
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par minidiane » 19 Juin 2007, 19:10
ok je vais voir pour les erreurs.
Par contre pour y'' ils ont bien marqué n=1 et j'ai pas compris du coup.
Donc il faut bien n=2 pour y'' , je vais donc rectifier cela déjà.
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thomasg
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par thomasg » 19 Juin 2007, 22:30
D'autres modification dans la correction
A la sixième ligne
a_nx^{n-1}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{n^2a_nx^{n+1}})
A la septième ligne: remplacer (n-n)² par (n-1)²
Pour ce qui est des changements d'indice, je pense que celui qui te pose problème est le passage de n à k.
Si n est pair, par récurrence on a:
^{\frac{n}{2}}a_1}{n+1})
il ne reste plus alors qu'à poser n=2k
Si n est impair de même
^{\frac{n-1}{2}}a_2}{\frac{n+1}{2}})
il ne reste plus alors qu'à poser n=2k-1
En espérant avoir répondu, à bientôt.
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minidiane
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par minidiane » 20 Juin 2007, 08:06
Merci thomasg de m'avoir fait remarqué cette erreur qui était une faute de frappe.
Merci aussi pour l'explication du changement avec les n et les k.
Il me reste malgrès tout une question: je ne comprend pas le passage de la 4ème ligne à la 5ème ligne et le passage de la 5ème ligne à la 6 ème ligne.
Quelqu'un peut-il m'expliquer?
Merci.
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thomasg
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par thomasg » 20 Juin 2007, 09:56
Bonjour,
pour les deux passages qui te posent problème:
pour le premier il suffit de développer,
pour le second il faut regrouper les termes (réduire),
j'ai effectué les calculs, mais débutant seulement avec Latex je n'ai pas le temps de les écrire,
essaye de le faire (au moins le développement), si tu n'arrives pas je l'écrirai ce soir...(si personne ne te l'as proposé avant).
A bientôt.
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minidiane
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par minidiane » 20 Juin 2007, 12:22
J'y arrive pas du tout j'aimerai bien que tu me l'écrive ce soir si personne ne me le propose, merci.
Je vais encore essayer.
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minidiane
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par minidiane » 20 Juin 2007, 15:34
J'ai trouvé le passage de la 4ème ligne à la 5ème mais pas celui de la 5ème ligne à la 6ème.
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thomasg
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par thomasg » 20 Juin 2007, 16:32
Pour la première somme en effectuant le changement d'indice
on obtient la première somme de la ligne 6
Pour la seconde somme en effectuant le changement d'indice
on obtient
^2-2(n+1))a_{n+1}x^{n}})
il ne reste plus alors qu'à remarquer que
(n+1)²-2(n+1)=n²-1=(n+1)(n-1)
A bientôt (ou bonne chance pour demain).
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minidiane
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par minidiane » 20 Juin 2007, 17:54
Merci thomasg, merci beaucoup.
Demain je passe les fonctions et après demain les séries.
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