Série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier

[BILLA]

salut tout le monde
pouvez vous m'aider à prouver que cette série trigonométrique n'est pas une série de fourier
elle est donnée comme suit :

la somme des (sin(nx)/n^a) tel que 0
Merci d'avance

[adrien69]

salut tout le monde
pouvez vous m'aider à prouver que cette série trigonométrique n'est pas une série de fourier
elle est donnée comme suit :

la somme des (sin(nx)/n^a) tel que 0<a<=1/2

Merci d'avance

Le truc classique c'est de montrer que les coefficient de fourier (ici les bn) ne correspondent pas à ce que tu as dans ta somme. Encore faut-il pouvoir les calculer par contre. Et là... Je ne sais même pas si ta cochonnerie converge simplement. Enfin, je m'en doute, je pense qu'il faut appliquer une transformation d'Abel pour augmenter la puissance au dénominateur, mais après pour le calcul...

edit : ah mais si ! Y a le théorème d'interversion série intégrale qui marche bien là.
la série CVS
La série de l'intégrale des modules converge
Alors la somme de la série est intégrable et on a l'intégrale de la somme qui vaut la somme des intégrales

[Le_chat]

Une transformation d'abel marche bien, vu que la suite des (1/n^a) décroit vers 0, et que la suite des sommes partielles de sin(nx) est bornée (à x fixé bien entendu).

Par contre, je vois pas comment la somme de l’intégrale des modules peut converger, ça fait la série de terme général 4/n^a, sauf erreur.

Par contre avec Bessel ça marche, on obtient que pour tout n, la somme des 1/n^2a est plus petite qu'une constante.