Base qui n'est pas orthonormale

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

J'ai du mal à voir ce qu'est une base qui n'est pas orthonormale :triste:

Une base orthonormale c'est une base qui contient des vecteurs de normes 1 et qui sont tous orthogonaux deux à deux.


Exemple
Soit une base avec et
alors la base est orthonormale , c'est bien ça ?


Contre-exemple

Et si par exemple j'ai



Alors la base n'est pas orthonormale ?

[fatal_error]

salut,

normalement ca depend de ton produit scalaire.
Si on nomme M la matrice qui représente ce produit scalaire, alors tes vecteurs othogonaux respectent
v_1Mv_2=0

En l'occurrence pour ton exemple, si M=I, alors
e1Ie2=-2+10=8!=0 donc tes vecteurs sont effectivement pas orthogonaux, ta base pas orthogonale et à fortiori pas orthonormale

[Cryptocatron-11]

Je n'arrive pas non plus à voir à quoi ressemble cette matrice. Du coup, je comprends pas le calcul e1Ie2=-2+10=8!=0.

[fatal_error]

ben ca depend de ton ensemble.
Si tu prends R^2 munit du produit scalaire I (la matrice identité) ben
I=(1,0; 0,1)

Mais tu pourrais aussi prendre un autre produit scalaire, par exemple
S=(0,1;-1,0)

[Cryptocatron-11]

Oui mais pour le calcul t'as fais

?

[Skullkid]

Mais tu pourrais aussi prendre un autre produit scalaire, par exemple
S=(0,1;-1,0)

Salut, attention c'est pas un produit scalaire cette matrice-là, il faut une matrice symétrique définie positive.

@Cryptocatron-11 : le calcul présenté par fatal_error c'est où x et y sont exprimés en colonne suivant une base donnée, et M est la matrice qui définit ton produit scalaire suivant cette base (jusqu'à présent vous avez choisi la base canonique de R² comme base de référence). Quand on fait le calcul avec ton exemple ça fait 21, fatal_error a fait une coquille.

Sinon je ne comprends pas ton premier post :

Exemple
Soit une base avec et
alors la base est orthonormale , c'est bien ça ?

Si je comprends bien tes notations, e1 = a1 et e2 = a2 donc B = B0. Donc B est orthonormée si et seulement si B0 l'est.

Lorsque ton espace est muni d'un produit scalaire, une base orthonormée c'est une base dont les vecteurs vérifient que est égal à 1 si i = j et est égal à 0 sinon.

Par exemple, si on prend le produit scalaire usuel sur R², la base ((1,0),(1,1)) n'est pas orthonormée (les vecteurs sont exprimés dans la base canonique).

[Cryptocatron-11]

@Cryptocatron-11 : le calcul présenté par fatal_error c'est où x et y sont exprimés en colonne suivant une base donnée, et M est la matrice qui définit ton produit scalaire suivant cette base (jusqu'à présent vous avez choisi la base canonique de R² comme base de référence). Quand on fait le calcul avec ton exemple ça fait 21, fatal_error a fait une coquille.

Matriciellement , je vois pas comment vous faites. Moi je sais juste que (x,y).(x',y')=xx'+yy' et on retrouve bien 21. Mais avec la matrice vous faites comment pour retrouver ça ?

Par exemple, si on prend le produit scalaire usuel sur R², la base ((1,0),(1,1)) n'est pas orthonormée (les vecteurs sont exprimés dans la base canonique).

OK donc les vecteurs sont exprimés dans une base canonique , je comprend mieux. Car (1,1) n'est valable que dans la base canonique B. Mais si on se serait placé dans la base B'= ((1,0),(1,1)) , alors le vecteur de coordonnées (1,1) dans la base canonique B serait devenu (0,1) dans la base B ' . Car

[Skullkid]

Matriciellement , je vois pas comment vous faites. Moi je sais juste que (x,y).(x',y')=xx'+yy' et on retrouve bien 21. Mais avec la matrice vous faites comment pour retrouver ça ?

Ce que tu notes avec un point c'est le produit scalaire de deux vecteurs colonne exprimés dans la même base orthonormée, qui n'est pas à proprement parler le produit matriciel. En notation matricielle, . Ici le produit est le produit matriciel que tu connais bien. De la même façon, si M est la matrice de ton produit scalaire exprimée dans une base B donnée et x et y sont les vecteurs colonnes exprimés dans cette même base B, le produit scalaire de x et de y est . Si la base B est orthonormée pour ton produit scalaire, alors M est la matrice identité et on retrouve ta formule.

OK donc les vecteurs sont exprimés dans une base canonique , je comprend mieux. Car (1,1) n'est valable que dans la base canonique B. Mais si on se serait placé dans la base B'= ((1,0),(1,1)) , alors le vecteur de coordonnées (1,1) dans la base canonique B serait devenu (0,1) dans la base B ' . Car

Tu n'es pas obligé de choisir la base canonique (certains espaces n'ont pas de base canonique) comme base de référence, mais oui il faut choisir une base si tu veux représenter les vecteurs par des matrices colonne.

[Cryptocatron-11]

OK je vois. On transpose la matrice colonne et M c'est I pour une base orthonormale. Si par exemple j'aurais choisi une base qui n'est pas orthonormale , j'aurais une matrice M pas terrible ...

(certains espaces n'ont pas de base canonique)

lesquels ?

[Skullkid]

En fait on peut montrer qu'il suffit de se donner une base B quelconque et une matrice M symétrique définie positive pour définir un produit scalaire (je me restreins au cas des espaces vectoriels réels, en complexe c'est un peu différent). En choisissant M comme étant égale à l'identité, ça revient à choisir "le produit scalaire pour lequel B est orthonormée".

L'espace des fonctions continues de R dans R par exemple n'a pas de base canonique. Les espaces qui ont une base canonique c'est , et .

[Cryptocatron-11]

L'espace des fonctions continues de R dans R par exemple n'a pas de base canonique. Les espaces qui ont une base canonique c'est , et .

Justement, en parlant d'espace de fonctions , est ce qu'on peut dire que l'ensemble des applications de est inclus dans l'ensemble des applications de ? Autrement dit

[Skullkid]

En toute rigueur non, puisqu'une application définie sur {1,2} n'est pas définie sur R. Mais tu peux considérer que oui en identifiant par exemple chaque application f de {1,2} dans R à l'application de R dans R qui vaut 0 partout sauf sur {1,2} où elle est égale à f.