Série harmonique

[laurafr13]

Voila j'ai un petit blocage sur une question dans cet exercice.

La série harmonique est la suite (Hn) définie par Hn=somme sur [1,n] des 1/k

1.a)Montrer que pour tout réel x positif , on a x/x+1ln(n+1)

3. Montrer que Hn est équivalent à ln n . Rappel: Hn équivalent à ln n équivaut à lim Hn/ln(n)=1 . Ici je suis arrivée au final à montrer que ln(n) + 1/nHn1+ln(n)

4)On définit la suite (un) par un=Hn-ln

a) Montrer que pour tout k naturel non nul, (1/k+1) - (1/k)<uk+1-uk<0

b) En déduire l'encadrement : pour tout n naturel non nul, 0un1.

Ici j'y suis arrivée mais en utilisant ce que j'avais démontré pour l'équivalence entre Hn et ln(n), donc je suppose qu'il faut faire autrement mais je ne vois pas, une idée?

c)Montrer que un est convergente

Et la je n'y arrive plus du tout!

Merci beaucoup pour votre aide!

[Pythales]

Peut-être une réponse dans M@th en ligne ?

[prody-G]

salut

pour la 1)b tu peux remplacer x par dans l'inégalité du dessus.
pour la 2) c'est une somme télescopique :



.
.
.




En sommant ces inégalités :

[laurafr13]

oui j'y suis arrivée, en fait le problème se pose à partir du "en déduire", les autres questions c'est bon