Série harmonique non entière

[mathelot]

bonjour,


Soit

comment démontre-t-on que

pour

Bonne journée.

[lapras]

Considère la plus grande puissance de 2 divisant un des dénominateurs.

[chan79]

bonjour,


Soit

comment démontre-t-on que

pour

Bonne journée.

salut
Soit la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à n. (ci-dessous dans l'exemple, c'est 4)
Si on réduit cette somme au même dénominateur ( le PPCM) ,la décomposition en facteurs premiers de ce dénominateur permet de l'écrire sous la forme avec impair.
Tous les numérateurs obtenus sont pairs sauf celui de la fraction égale à
Quand on les ajoute, on obtient un nombre impair r.
La somme est de la forme et ne peut pas être entière puisque m est non nul.

Ci-dessous avec n=5, m=2




grillé...

[alm]

Salut
@ chan79
N'y a t il pas un problème à régler: rien ne dit à priori que la veleur maximale de est atteinte une seule fois (un seul dénominateur), il faut le prouver, non ?

[Ben314]

Salut
@ chan79
N'y a t il pas un problème à régler: rien ne dit à priori que la veleur maximale de est atteinte une seule fois (un seul dénominateur), il faut le prouver, non ?

Oui, il faut effectivement le prouver, mais c'est assez évident : vu que est la plus grande puissance de inférieure ou égale à , c'est que .
Or, si un entier "contient" du , c'est qu'il s'écrit et
- Soit et
- Soit et donc n'est pas dans l'ensemble {1,2,3,...,n} des dénominateurs.

[chan79]

Salut
@ chan79
N'y a t il pas un problème à régler: rien ne dit à priori que la veleur maximale de est atteinte une seule fois (un seul dénominateur), il faut le prouver, non ?

Parmi les entiers inférieurs ou égaux à n, certains sont des puissances de 2. On prend le plus grand.
Si n=17, la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à n est

[deltab]

Bonjour.

Salut
@ chan79
N'y a t il pas un problème à régler: rien ne dit à priori que la veleur maximale de est atteinte une seule fois (un seul dénominateur), il faut le prouver, non ?

Il n'y a de problèmes. On s'intéresse ensuite au plus grand d'entre eux: Il est bien un terme de la somme.
On peut formuler autrement le choix du terme ,

[wserdx]

En complément, je propose cette autre piste:
On peut établir par récurrence que où est une suite d'entiers définie par récurrence par
;
On a à peu près immédiatement (pour ) que ne divise pas , donc ne divise pas , donc n'est pas entier.

[Doraki]

non c'est u(n+1) = (n+1)*un + n! et ta récurrence ne marche pas.

[wserdx]

Oups, en effet désolé. Bon ben, je retire ce que j'ai dit...

[wserdx]

Bon, pour me racheter, je propose une démonstration légèrement adaptée.
Au lieu de considérer 2, en tant que plus petit nombre premier, on considère , le plus grand nombre premier inférieur ou égal à . De sorte que dans la liste des facteurs premiers de , n'apparait qu'une seule fois. (implicitement, j'admets qu'entre et , il y a forcément au moins un autre nombre premier, bien que ça ne soit pas si trivial que ça à montrer)
En écrivant
, on voit que tous les termes (qui sont bien entiers) sont multiples de , sauf un : . Le numérateur n'est donc pas multiple de p, alors que le dénominateur () l'est.