Serie harmonique

[valentin68000]

bonjour, comment pourrais-je démontrer que pour Un=1/1²+2²+3²+...n²
∑ Uk pour k allant de 1 à n est convergente ?

[Rdvn]

Bonjour
Votre écriture est ambigüe ,
faut il lire u(n) = 1/(1^2+...+n^2) ?
Ou est ce autre chose ?

[valentin68000]

oui c'est une suite

[Rdvn]

C'est sur la place des parenthèses que je voulais des précisions.
Si c'est bien ce que j'ai marqué en première réponse, pour u(n) ,
quelques indications :
-) votre série est une série à termes positifs : vous pouvez utiliser le critère de comparaison
-) il est facile de montre que pour k>ou=1, u(k)<ou=1/k^2
-)vous reconnaissez une série classique vue en cours, série de terme général 1/k^2
Bon courage (entamez une solution, selon la charte du forum, afin d'avoir davantage d'aide si ça ne suffit pas)

[mathelot]

bonsoir,
la somme est calculable (polynôme de Bernoulli)

[Rdvn]

voir deuxième message

[valentin68000]

j'ai utilisé le fait que la somme 1²+2²+3²+..n²=n(n+1)(2n+1)/6 que j'ai ensuite inversé puis après avoir calculé la somme j'obtiens finalement 12/(n(n+1)²(n+2) sauf que ça ne tend pas vers 0 en réalité

[valentin68000]

il s'agit d'une suite dépendant de n donc Un

[Rdvn]

Ma réponse s'est perdue : deuxième essai
Vous pouvez utiliser la méthode indiquée par mathelot , et conclure.
Dans ma première réponse je traitait juste la question de convergence par une méthode pratiquement immédiate : vous avez le choix.

[valentin68000]

le sujet incite à utiliser la série harmonique puisqu'on me demande ensuite d'en déduire la somme en fonction de Hn=1/k et H2n+1=∑1/k k allant de 1à 2n+1

[valentin68000]

je ne comprend il s'agit d'une simple suite Un quel lien avec U(n) ?

[GaBuZoMeu]

Une suite réelle, c'est une fonction de dans . La notation est donc au moins autant justifiée que la notation habituelle .

[valentin68000]

oui c'est U(n) que j'ai majorée par 1/k² mais dans la dernière question je dois écrire cette somme sous forme de série harmonique pour déterminer ensuite la limite

[mathelot]

Il faut décomposer la fraction en éléments simples

[Rdvn]

Comme GaBuZoMeu vous l'a fait remarquer, ne vous arrêtez pas à une différence de notation.
Mais actuellement je ne perçois plus où vous en êtes dans votre exercice, ce que vous écrivez est trop vague :
mettez votre énoncé en ligne (page d'accueil, guide d'utilisation).
Faites attention à vos parenthèses (c'est essentiel, pas facultatif !) , faites attention à la cohérence :
u(n)<ou=1/n^2 et non 1/k^2.
Où en êtes vous dans votre cours ? série à terme positif : ça vous dit quelque chose ou rien ?
Attention aux calculs : votre inversion à 20:40 est fausse.
Bref...bon courage

[LB2]

Bonjour,

quelques précisions :

- ce n'est pas la série harmonique. La série harmonique c'est la série de terme général 1/n.

- confusion sur les parenthèses

- confusion entre une série et son terme général

- L'exercice nous demande simplement d'étudier la nature de cette série à termes positifs

Rien de plus simple :

1) On calcule un équivalent simple du terme général en + l'infini (c'est du 1/(2n^3))
2) On cite le résultat du cours sur la nature des séries de Riemann : converge pour alpha = 3
3) On utilise le théorème de comparaison des séries à termes positifs (version u négligeable devant v)

Conclusion : la série converge.

Si l'on ne connait pas la théorie des équivalents ( ce qui est dommage avant d'étudier les séries numériques!)
on peut remplacer l'argument 1) par résultat un peu plus faible mais suffisant ici : u(n) <= 1/n^2
et l'argument 2) par : série de Riemann converge pour alpha = 2
L'argument 3) est analogue, c'est le théorème de comparaison des séries à termes positifs (version u <= v)

Pour le calcul de la somme, c'est un autre débat, et ce n'est pas demandé dans l'énoncé initial.
Pour le calcul de la somme, on repart de la somme partielle de rang n, on décompose la fraction rationnelle en éléments simples, comme l'a indiqué mathelot, et on voit si ce qu'on obtient n'est pas trop moche...
Pour passer ensuite à la limite (sans créer de forme indéterminée indésirable)