Seconde solution (Wronskien) équation de Bessel d'ordre 0

[Yezu]

Bonsoir à tous,

Dans un problème de physique, je suis amené à résoudre l'équation de Bessel d'ordre 0 :


où est une fonction de mon problème à déterminer.

Je trouve une première solution par la méthode de Frobenius dans un voisinage de 0 :

Je suis supposé déterminer une seconde solution avec Wronskien, et j'obtiens comme indication d'effectuer une intégration terme par terme et que cela ferait apparaître la série harmonique.
La seconde solution par Wronskien me dit que :


En posant , j'obtiens :

De sorte qu'on ait :


J'essaie ensuite de faire monter ce vilain dénominateur avec le binôme, mais j'obtiens un truc catastrophiquement horrible et l'intégration terme à terme semble juste impossible (je suis en cas très très loin de la "série harmonique"). Le binome me fait juste apparaître la fonction de Bessel d'ordre 0 - 1 élevés à toutes les puissances.
J'ai déjà eu du mal à obtenir la formule pour , alors je me dis que ce serait impossible de trouver toutes les puissances ... à moins qu'il y ait une astuce ?

Merci d'avance pour vos conseils,

Bonne soirée

Edit :
La solution à obtenir serait :

avec les coefficients du D.S.E de et la série harmonique.
J'en suis toujours hypra méga loin, je fais sortir ce terme en "ln" mais le reste : pas du tout.

[Yezu]

Up [parce que le sujet est descendu assez bas ^^]

[LB2]

Bonjour,

je ne suis pas spécialiste du sujet, mais j'essaye d'aider :

- la "méthode de Frobenius", c'est chercher des solutions développables en série entière au voisinage de 0?
Ta fonction Psi1 serait-elle la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0 J_0 ?

Pour ton Psi2, je connais le wronskien, mais je ne connais pas la méthode du wronskien dans ce cas, il faudrait détailler ce point. Sinon, une primitive de x->1/x étant x->ln(x), je ne comprends pas trop pourquoi tu trimballes des termes exp(-intégrale(1/x)) ...
En tout cas, tu peux lire ce papier intéressant, je crois qu'ils utilisent une autre méthode (équa diff et développement en série entière) pour trouver Psi2, et effectivement il sort des coefficients H_k=1+1/2+...+1/k

http://pub.math.leidenuniv.nl/~chirilus ... ctions.pdf

[Yezu]

Bonjour LB2,

La méthode de Frobenius c'est en gros déterminer le D.S.E d'une solution à une équation différentielle avec coefficients non-constants.

Oui, est bien la fonction de Bessell .

Concernant le Wronskien, il te sert juste à trouver une seconde solution linéairement indépendante si tu connais une première solution. En l'occurence, dans le cas général, avec un peu de travail sur le Wronskien de et , on a :

où est la fonction coefficient devant le terme en première dérivée dans l'équation différentielle.
J'écris la grosse intégrale juste par définition, tu remarqueras que dès la ligne suivante je simplifie cette exponentielle en écrivant :

avec .
Merci beaucoup pour ton document ! Effectivement, avant de poser ma question, j'ai du voir sur le net un paquet de solutions à mon problème qui utilisent grosso modo la même méthode que ton PDF ! Malheureusement, je n'ai pas encore trouvé de documents qui utilisent explicitement le Wronskien en effectuant l'intégration terme à terme de comme suggéré dans mon devoir !
Je n'arrive juste pas à intégrer terme ce machin, en utilisant le binome, j'obtiens des puissances successives horribles de !

Merci beaucoup de ta venue LB2 !

[LB2]

Je pense qu'on peut avoir les coefficients du DSE de Psi1 au carré par produit de Cauchy

Mais après c'est assez moche, il faut inverser un DSE... à savoir trouver les (bn) coefficients de 1/f connaissant les (an) coefficients de f.

Peut-être en trouvant une équation différentielle bien choisie?

j'ai refait le calcul du wronskien qui vaut bien c/x, où c est une constante déterminée par les conditions initiales.
Ce que je n'ai pas compris précisément, c'est comment utiliser le wronskien pour fabriquer une nouvelle solution Psi 2 linéairement indépendante de Psi1

[Yezu]

Bonjour,

Effectivement c'est horrible de trouver l'inverse de ce D.S.E.
Y aurait-il d'autres méthodes à part trouver une équation différentielle pour trouver simplement le D.S.E de :
?

J'ai essayé un paquet de trucs : nouvelle équation différentielle, formule du binome, produit de Cauchy, mais tout est catastrophiquement horrible ... je me demande s'il y a une mini astuce que je ne vois pas ...
Pour rappel : on veut une forme explicite du D.S.E pour effectuer une intégration terme à terme.

[Yezu]

Bonjour,

J'ai finalement obtenu le résultat à l'aide d'une équation différentielle.

Merci,

Bonne journée

[LB2]

Bonne nouvelle,

je serais curieux de savoir comment tu as fait.

Cordialement

[Ben314]

Salut,
Une fois que tu as une solution (obtenue n'importe comment) de l'équation , le "standard", c'est d'injecter avec variable dans l'équation : qui semble être une "impasse calculatoire", à savoir (à une constante multiplicative près).
Sauf que , donc où est une série entière.
Et si on injecte ça dans , ça donne gentiment dont on peut chercher les solutions développable en séries entières au voisinage de 0.

[Yezu]

Bonsoir,

C'est exactement ce que Ben a écrit.
Comme on n'est pas vraiment "intéressé" par le D.S.E de cette constante variable, mais plutôt la seconde solution, avec un peu de travail sur , avec , tu peux trouver une autre équation diff qui te donne directement le D.S.E qui apparait dans sans le terme logarithmique.
En l'occurence, avec les notations de Ben :


Tu peux retrouver le résultat (à 1 constante près) avec le Wronskien aussi.
Avec un peu de travail sur le Wronskien de tes solutions , tu peux trouver :

Mais le Wronskien peut aussi être défini de la façon suivante :

Ceci te conduit finalement à :


J'ai essayé ensuite de trouver le D.S.E de pour effectuer une intégration terme à terme mais c'était impossible : en utilisant le binome, j'ai juste pu trouver avec produit de Cauchy mais pour les puissances k-ièmes c'était suicidaire ...
Donc j'ai tout simplement écrit la solution comme un D.S.E inconnu , puis j'ai continué mes manips jusqu'à l'insérer dans l'équation diff. pour finalement retrouver ce D.S.E inconnu.

Bonne soirée

Edit : je ne suis pas du tout un expert TeX mais sur mon éditeur perso, les symboles intégrales sont bien grands, mais ici ils sont tout petits et c'est pas si beau ... y aurait-il une commande pour écrire une bien grande intégrale ? Merci !

[Ben314]

1) J'ai modifié mon message où je m’était gouré dans l'équation (E'') : j'avais précédemment écrit au lieu .
2) Sinon, concernant le "TeX" du forum, c'est pas vraiment du TeX, ni du LaTeX, mais du "MimeTeX" : grosso modo, ça marche pareil, mais il y a des différences quand tu rentre dans le détail (par exemple cette histoire d'intégrale). Et en plus, je sais pas si ça a pas plus ou moins changé de version au moment où on a changé d'hébergeur : Avant, il y avait une commande \bigint qui visiblement ne marche plus dans la version actuelle.

Si tu as rien d'autre à f... tu peut éventuellement chercher sur le net de la doc. spécifique au MimeTeX pour voir s'il y a moyen de faire "plus beau". Perso, j'ai la flemme...

[Yezu]

Merci bien Ben !
Oui je me rappelle de cette commande mais elle ne marche plus ):
Je vais checker la docu d'ici ce soir si j'ai rien d'autre à f comme tu le dis bien ^^