Wronskien et fonctions holomorphes

[ffpower]

Salut!
Soit des fonctions holomorphes sur un ouvert U.
Soit W la fonction holomorphe définie par :

Montrer que si W est identiquement nul sur U, alors il existe des complexes tels que sur U

Bonne chance :we:

Edit: je viens de me rendre compte que j ai oublié de dire que U était connexe ( cest trivialement faux sinon )

[Ben314]

A part que c'est le truc qu'on utilise quand on fait une "variation de la constante" dans une équa. diff. linéaire (d'ordre p) avec second membre non nul, la preuve ne me revient pas "direct"...

P.S. il faut évidement préciser "... il existe c1,...cp non tous nuls tels que..."

[Nightmare]

Je connais(sais) la preuve pour le cas p=2 et f réelle dérivable. Ca doit être à peu près la même chose... On utilise si je me souviens les déterminants des sous-matrices. Bref, je vais essayer de réécrire tout ça.

[Ben314]

Pour p=2, la preuve "bébète" consiste à voir que le Wronskien est le numérateur de ...
Mais il me semble que c'est une mauvaise approche i.e. que ça se généralise pas trop à p>2...

[Ben314]

Je pense avoir une soluce :
W étant identiquement nul, toutes ces dérivées le sont aussi.
En utilisant le fait que le déterminant est n-linéaire (sur les lignes), on montre que tout déterminant dont les lignes sont le la forme (k entier quelconque) est nul.
On fixe ensuite et on en déduit que les suites , . . . forment une famille liée et... on conclue à l'aide des séries entières.

[ffpower]

Night: pour les fonctions dérivables sur R, c est faux. si f_1 est nulle sur R- non nulle sur R+ et f_2 nulle sur R+ non nulle sur R-, alors le Wronskien associé à f_1 et f_2 est identiquement nul, et ya pourtant pas de CL de f_1 et f_2 identiquement nulle.

Ben: bien joué ta démo marche ( bien qu'écrite de manière un peu lacunaire^^)

Ma demo à moi:je regarde la matrice comme étant à coeff dans le corps des fonctions méromorphes sur U. Comme le determinant est nul, l algebre linéaire nous dit qu il existe une combianaison linéaire des lignes qui est nulle à coeff dans le corps fonctions méromorphes. Autrement dit il existe p fonctions méromorphes (non toutes nulles) telles que toutes les sont solutions de l équa diff (complexe)
Ensuite on fixe z_0 qui n est pas un pole ni un zéro des (on compte pas les u_i identiquement nul ), on prend des complexes tels que ait toutes ses dérivées d'ordre <p-1 nulles en , puis comme f vérifie encore l'équa diff, on vérifie par une reccurence immédiate que toutes les dérivées de f en sont nulles et donc que f=0 ( En fait on vérifie que l unicité de Cauchy Lipchitz marche encore pour une équa diff complexe )

[Ben314]

Pas mal du tout,
J'était parti sur cette idée, mais je n'arrivais pas à conclure...
Par contre, pour les fonctions , j'avais directement pris les sous determinants obtenus en barrant la dernière collone et les différentes lignes (si est identiquement nul, on conclue à l'aide d'une réccurence...) le (petit) intérêt est qu'elles sont holomorphes...

[Ben314]

Sur le "coté lacunaire" de la preuve que j'ai donné, il me semble qu'elle serait complète en changeant un peu l'ordre et en faisant une récurrence :
Si le sous determinant "haut-gauche" est identiquement nul, on conclue par récurrence, sinon on prend un où il est non nul et, au point , il existe une unique (à multiplication par prés) combinaison linéaire des colonnes qui est nulle.
On utilise ensuite l'argument des dérivées pour montrer que la formule perdure pour les dérivées d'ordre plus grand (en utilisant l'unicité).

Ca te parrait moins "lacunaire" ?

[ffpower]

Pas mal du tout,
J'était parti sur cette idée, mais je n'arrivais pas à conclure...
Par contre, pour les fonctions , j'avais directement pris les sous determinants obtenus en barrant la dernière collone et les différentes lignes (si est identiquement nul, on conclue à l'aide d'une réccurence...) le (petit) intérêt est qu'elles sont holomorphes...

Si j ai bien compris ce que tu proposes, les u_i qu on obtient dépend de la colonne choisie non? et donc chaque f_j satisiera a priori une equa diff différente

Sur le "coté lacunaire" de la preuve que j'ai donné, il me semble qu'elle serait complète en changeant un peu l'ordre et en faisant une récurrence :
Si le sous determinant "haut-gauche" est identiquement nul, on conclue par récurrence, sinon on prend un où il est non nul et, au point , il existe une unique (à multiplication par prés) combinaison linéaire des colonnes qui est nulle.
On utilise ensuite l'argument des dérivées pour montrer que la formule perdure pour les dérivées d'ordre plus grand (en utilisant l'unicité).

Ca te parrait moins "lacunaire" ?

Faudrait expliquer aussi ce que donne la dérivée du Wronskien^^
De toute facon, j ai pas dit ca méchamment. Moi j ai compris la preuve, donc ce que tu as écrit me suffit, je demandais pas spécialement plus de détails. Après si une tierce personne bloque sur un point de ta démo, ben tu expliqueras en temps voulu..

[ffpower]

J aime bien ma preuve, mais je doit avouer que la tienne semble plus généralisable. Avec cette méthode on doit pouvoir trouver une condition pour obtenir un énoncé équivalent en C infini..

[Ben314]

LE c'est fois le déterminant obtenu en barrant la ième ligne (numérotées de à ) et la DERNIERE colonne.
La quantité est alors le déterminant de départ dans lequel on a remplacé la derniére colonne par les dérivées de .
Cette quantitée est donc nulle pour car le determinant contient deux fois la même colonne et elle est aussi nulle pour par hypothèse.

[Nightmare]

Ma demo à moi:je regarde la matrice comme étant à coeff dans le corps des fonctions méromorphes sur U. Comme le determinant est nul, l algebre linéaire nous dit qu il existe une combianaison linéaire des lignes qui est nulle à coeff dans le corps fonctions méromorphes. Autrement dit il existe p fonctions méromorphes (non toutes nulles) telles que toutes les sont solutions de l équa diff (complexe)
Ensuite on fixe z_0 qui n est pas un pole ni un zéro des (on compte pas les u_i identiquement nul ), on prend des complexes tels que ait toutes ses dérivées d'ordre <p-1 nulles en , puis comme f vérifie encore l'équa diff, on vérifie par une reccurence immédiate que toutes les dérivées de f en sont nulles et donc que f=0 ( En fait on vérifie que l unicité de Cauchy Lipchitz marche encore pour une équa diff complexe )

Wow, fallait le trouver...

[Ben314]

Pour la dérivée du Wronskien, il me semble que c'est trés simple en utilisant
a) la p-linéarité du déterminant (par rapport aux lignes)
b) le fait que si deux lignes sont identiques le déterminant est nul.

Par exemple la dériveé première correspond à remplacer la dernière ligne par les dérivée d'ordre (si on dérive une autre ligne, on se retrouve avec deux lignes identiques...)

Bon, ca chauffe ici... je vais bouffer... A+

[ffpower]

LE c'est fois le déterminant obtenu en barrant la ième ligne (numérotées de à ) et la DERNIERE colonne.
La quantité est alors le déterminant de départ dans lequel on a remplacé la derniére colonne par les dérivées de .
Cette quantitée est donc nulle pour car le determinant contient deux fois la même colonne et elle est aussi nulle pour par hypothèse.

Ah ok, bien vu