Wronskien...

[Taupin sur Lyon]

Petit problème sur une démonstration...

Soient u et v deux solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec second membre nul...
Le wronskien est défini par W = uv'-vu'

J'ai déja réussi à montrer que le fait qu'il s'annule était équivalent au fait qu'il soit nul... J'ai aussi montré que si W est non nul, alors u et v sont libres...
Mais je ne parviens pas à montrer entièrement que si u et v sont libres alors W non nul 0.
J'ai tenté par contraposée, et j'ai montré que c'était vrai pour le cas u'=v' ! Mais après, je bloque....

Voila... Si quelqu'un peut m'indiquer une piste, ça serait sympathique ! Merci ! :)

[Taupin]

Ami taupin ^^
Si u et v sont liés alors u=alpha*v et donc u'=alpha*v' et ensuite c'est fini :-)

[Taupin sur Lyon]

hihi, tu es taupin ou ?

Excuse-moi, je m'étais trompé dans l'énoncé... Cette partie là, je l'ai déja montré, c'est en effet simple ! ;) Mais c'est la réciproque sur laquelle je bloque ^^

Désolé de mon erreur ! :)

[Taupin]

A Paris, c'est quoi ta question dans ce cas ?

[Taupin sur Lyon]

Ok ;) Quelle prépa ? Si c'est po trop indiscret...

Bah enfait, je veux montrer que si les familles sont libres, alors le Wronskien est non-nul ! ie si le wronskien est nul, alors u et v sont liées ! ( c'est la contraposée )

[kazeriahm]

tu connais la notion de déterminant ?

sinon tu as la méthode bourrine :

on suppose W nul ie uv'=u'v

Tu sais d'après le théorème de Cauchy Lispchitz qu'une solution de ton équation ne s'annule jamais ou alors est constamment nulle (car le second membre est nul).

Si u ou v est constamment nulle alors u et v sont liées.

Sinon u'/u=v'/v et je te laisse finir

[Taupin sur Lyon]

Ok... merci bien ;) je regarderai ça!

Sinon, oui, je connais le déterminant, mais je voyais pas trop comment l'interpréter je dois dire !

[kazeriahm]

si tu connais le déterminant tu auras surement remarqué W est le déterminant du système {u,v}. Ca ne t'inspire rien?

[Taupin sur Lyon]

bah... W est bien le déterminant de la matrice u u' v v' ( en colonne ) ; donc s'il est non nul, c'est que (u u') et (v v') sont libres... Mais euh... voila !

[kazeriahm]

et bé si W est nul c'est que (u u') et (v v') sont liés donc u=a*v et u'=a*v' avec a scalaire, donc u et v sont liés

[Taupin sur Lyon]

Ah oui, tout simplement ^^ Ok ! Merci bien !
Je m'attendais à quelque-chose de plus compliqué je dois dire!!