Résolution formelle équation Einstein

[jehu73]

Bonjour à tous
j'ai un probleme à résoudre qu'a rencontré einstein au bac en 1896
l'équation est la suivante:
x3-14x-12=0

1/montrer que l'équation possède 3 racines réelles
2/utiliser la methode de Cardan pour determiner les 3 racines
le discriminant sera negatif
et il faut écrire les nombre complexe sous forme polaire ( ou expo)

merci pour votre aide...je galère pour la fin de cardan :++:

[Pisigma]

Bonjour à tous
j'ai un probleme à résoudre qu'a rencontré einstein au bac en 1896
l'équation est la suivante:
x3-14x-12=0

1/montrer que l'équation possède 3 racines réelles
2/utiliser la methode de Cardan pour determiner les 3 racines
le discriminant sera negatif
et il faut écrire les nombre complexe sous forme polaire ( ou expo)

merci pour votre aide...je galère pour la fin de cardan :++:

Bonsoir,

Ceci pourrait t'aider https://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quation_du_troisi%C3%A8me_degr%C3%A9/M%C3%A9thode_de_Cardan

[jehu73]

Bonjour Pisigma et merci pour ton retour.
j'ai déjà regardé sur wiki et j'arrive bien au final avec 3 formes complexes mais je ne sais pas comment les transformer en expo ou trigo pour retrouver les 3 reelles.

[Pisigma]

Bonjour Pisigma et merci pour ton retour.
j'ai déjà regardé sur wiki et j'arrive bien au final avec 3 formes complexes mais je ne sais pas comment les transformer en expo ou trigo pour retrouver les 3 reelles.

Tu devrais trouver les 3 racines obtenues, par exemple, par http://calculis.net/resoudre-equation-troisieme-degre

Ecris les réponses que tu as trouvées.

[jehu73]

j'ai déjà résolu par Newton et je connais donc les résultats mais je veux vraiment la démarche avec Cardan

[Pisigma]

j'ai déjà résolu par Newton et je connais donc les résultats mais je veux vraiment la démarche avec Cardan

Donne les dernières relations que tu as trouvées.

[jehu73]

je trouve p=-14 et q=-12

si je traite la reduite j'obtiens
(u*v)3=2744/27=P et u3+v3=12=S

Je transforme l'equation au 2eme degres sous forme
Y²-SY+P
Soit
Y²-12Y+2744/27=0

On obtient un discriminant <0 qui est égale à
£=(-12)²-4*2744/27
£=-14864/27

donc on obtient en racine
u3=(12+i550.5)/2 et v3=(12-i550.5)/2
donc
u=3v(12+i550.5)/2 et v=3v(12+i550.5)/2 3v c'est racine cubique

3 valeurs possibles

z1=3v(12+i550.5)/2 + 3v(12-i550.5)/2

z2=j*3v(12+i550.5)/2 + j²*3v(12-i550.5)/2

z3=j²*3v(12+i550.5)/2 + j*3v(12-i550.5)/2


et donc nous avons les 3 racines reelles de l'équation qui sont

x1= 3v(12+i550.5)/2 + 3v(12-i550.5)/2 +14/3

x2=j*3v(12+i550.5)/2 + j²*3v(12-i550.5)/2 + 14/3

x3=j²*3v(12+i550.5)/2 + j*3v(12-i550.5)/2 +14/3

[Pisigma]

je trouve p=-14 et q=-12

si je traite la reduite j'obtiens
(u*v)3=2744/27=P et u3+v3=12=S

Je transforme l'equation au 2eme degres sous forme
Y²-SY+P
Soit
Y²-12Y+2744/27=0

On obtient un discriminant <0 qui est égale à
£=(-12)²-4*2744/27
£=-14864/27

donc on obtient en racine
u3=(12+i550.5)/2 et v3=(12-i550.5)/2
donc
u=3v(12+i550.5)/2 et v=3v(12+i550.5)/2 3v c'est racine cubique

3 valeurs possibles

z1=3v(12+i550.5)/2 + 3v(12-i550.5)/2

z2=j*3v(12+i550.5)/2 + j²*3v(12-i550.5)/2

z3=j²*3v(12+i550.5)/2 + j*3v(12-i550.5)/2


et donc nous avons les 3 racines reelles de l'équation qui sont

x1= 3v(12+i550.5)/2 + 3v(12-i550.5)/2 +14/3

x2=j*3v(12+i550.5)/2 + j²*3v(12-i550.5)/2 + 14/3

x3=j²*3v(12+i550.5)/2 + j*3v(12-i550.5)/2 +14/3

Il y a une erreur dans le calcul du discriminant



Je vais indiquer les valeurs des x1 et x2 et te laisserai refaire ce qui précède





Le terme n'existe pas car le terme en x²=0



module 10.081 argument 53°475

module 10.081 argument -53°475

module de argument 17°825

module de argument -17°825









j module 1 argument 120°

j² module 1 argument 120°

module 10.081 argument 53°475

module 10.081 argument -53°475

module de argument 137°825

module le la racine cubique argument 222°175



Sauf erreur de recopie :lol3:

[alphamethyste]

bjr

soit ax^3+bx^2+cx+d=0 un poly de degré trois à coef réels

ce poly possede trois racines réelles et distinctes selon x1>x2>x3

et selon

x1 dans l'intervalle ouvert
x2 dans l'intervalle ouvert
x3 dans l'intervalle ouvert

si et seulement si h<0 et si de plus on ne verifie pas







et et

on obtiens







avec

et

[jehu73]

Super .. Merci beaucoup..oui tu as raison il y a bien une erreur au discriminant.
Encore merci pour vos reponses et votre réactivité

[Pisigma]

Super .. Merci beaucoup..oui tu as raison il y a bien une erreur au discriminant.
Encore merci pour vos reponses et votre réactivité

Avec plaisir :lol3: