Résolution d'équadiff

[Mouss75]

Bonjour à tous !

J'ai une jolie equadiff sur les bras et je ne vois pas trop commet m'y prendre...elle est pour le moins originale ! Si vous avez des pistes...



Personnellement ça ne me parle pas trop, mais qui sait...peut être que quelqun aura une bonne idée...parfois c'est magique !

Bonnes recherches à tous...

[fourize]

bonjour !

je suis un peu pressé mais je pense avoir une
idée; d'abord tu developpes le x(t) a l'interieur.

et t'envoie dans un membre.

t'aura une equation non lineiare a resoudre.
a mon avis il doit pas etre plus difficile.

bonne courage!!

[JJa]

A première vue, la solution générale n'est pas simple.
Mais il y a une solution particulière évidente : x(t) = t

[Mouss75]

Merci !
bien vu comme solution particulière ! j'avais x(t)=0...ça en fait une deuxième...

A première vue, la solution générale n'est pas simple.
Mais il y a une solution particulière évidente : x(t) = t

[JJa]

Bonjour,

la résolution de cette équation différentielle est moins ardue qu'il semblait à première vue car on peut la réduire à une EDO linéaire par la méthode suivante.
Le résultat est obtenu sous la forme paramétrique, c'est à dire x(y) et t(y).
Le paramètre (y) ne peut pas être éliminé pour obtenir une écriture formelle de x(t) avec uniquement des fonctions usuelles. Cela obligerait à faire appel à des fonctions spéciales du genre de fonction W de Lambert, ce qui serait compliqué et sans réel intérêt, puisqu'il est classique de présenter un résultat final sous forme paramétrique.
:
dx/dt = (x/t)[2/(t²x²-t(x^3)+1)] – x/t
posons : x=y/t
dx/dt = (dy/dt)/t-y/t² = (y/t²)[2/(y²-(y^3/t²)+1)] – y/t²
(dy/dt)/t = 2(y/t²)/(y²-(y^3/t²)+1)
y²+1-(y^3)/t² = 2(y/t)(dt/dy)
posons : u=t² donc du=2t dt
y²+1-(y^3)/u = 2(y/t)(dt/du)(du/dy) = 2(y/t)(1/2t)(du/dy)
y²+1-(y^3)/u = (y/u)(du/dy)
y(du/dy) = (y²+1)u-(y^3)
EDO linéaire avec second membre, dont l'inconnue est u(y) :
y(du/dy) - (y²+1)u = -(y^3)
la résolution classique donne, avec C constante :
u = C*y*exp(y²/2)+y
D'où les solutions de l'équation, sous forme paramétrique :
t = Sqrt[y*(C*exp(y²/2)+1)]
x = Sqrt[y/(C*exp(y²/2)+1)]
affecter le signe + ou – à la racine carrée (Sqrt)
Le cas particulier C=0 donne la solution particulière x=t

[Mouss75]

Bonjour,
Merci pour ce coup de pouce ! Je vais refaire les calculs a tête reposée pour confirmer et surtout bien les comprendre !
Et je vais essayer de voir si les informations suivantes aident pour determiner la constante
1) si t tends vers +/- inf , x(t) tends vers 0 (resp +/-)
2) X(t=0)=0

En tout cas merci !

Bonjour,

la résolution de cette équation différentielle est moins ardue qu'il semblait à première vue car on peut la réduire à une EDO linéaire par la méthode suivante.
Le résultat est obtenu sous la forme paramétrique, c'est à dire x(y) et t(y).
Le paramètre (y) ne peut pas être éliminé pour obtenir une écriture formelle de x(t) avec uniquement des fonctions usuelles. Cela obligerait à faire appel à des fonctions spéciales du genre de fonction W de Lambert, ce qui serait compliqué et sans réel intérêt, puisqu'il est classique de présenter un résultat final sous forme paramétrique.
:
dx/dt = (x/t)[2/(t²x²-t(x^3)+1)] – x/t
posons : x=y/t
dx/dt = (dy/dt)/t-y/t² = (y/t²)[2/(y²-(y^3/t²)+1)] – y/t²
(dy/dt)/t = 2(y/t²)/(y²-(y^3/t²)+1)
y²+1-(y^3)/t² = 2(y/t)(dt/dy)
posons : u=t² donc du=2t dt
y²+1-(y^3)/u = 2(y/t)(dt/du)(du/dy) = 2(y/t)(1/2t)(du/dy)
y²+1-(y^3)/u = (y/u)(du/dy)
y(du/dy) = (y²+1)u-(y^3)
EDO linéaire avec second membre, dont l'inconnue est u(y) :
y(du/dy) - (y²+1)u = -(y^3)
la résolution classique donne, avec C constante :
u = C*y*exp(y²/2)+y
D'où les solutions de l'équation, sous forme paramétrique :
t = Sqrt[y*(C*exp(y²/2)+1)]
x = Sqrt[y/(C*exp(y²/2)+1)]
affecter le signe + ou – à la racine carrée (Sqrt)
Le cas particulier C=0 donne la solution particulière x=t

[JJa]

1) Pour que t tende vers +/- inf , il faut que (y) tende vers l'infini. Il en résulte que la fonction x(y) tend vers 0. Donc x(t) tends bien vers 0 lorsque t tends vers +/- inf. (selon le signe +/- affecté à Sqrt)
2) Pour la valeur y=0 du paramètre, on a x(y)=0 et t(y)=0. Donc on trouve bien x(0)=0.
Les deux conditions précédentes sont insuffisantes pour déterminer la valeur de la constante C.

[Mouss75]

Bonsoir,

Merci du coup d'oeuil sur la constante ! c'est les conclusions que j'avais aussi.
Pour information, je pense avoir trouvé une méthode pour acceder a ce fameux C.
1°) d'abord on peut remarquer que la solution de l'équa diff est prolongeable au cas t=0 (dérivabilité OK sauf en 0, mais les limites à gauche et à droite de x'(t) sont les mêmes).
2°)Il faut revenir a mon autre message (celui avec la densité normale). En se plaçant alors dans le cas t=0 on trouve que C=2/sqrt(2pi)-1

Et voilà...merci !

Bonjour,
Merci pour ce coup de pouce ! Je vais refaire les calculs a tête reposée pour confirmer et surtout bien les comprendre !
Et je vais essayer de voir si les informations suivantes aident pour determiner la constante
1) si t tends vers +/- inf , x(t) tends vers 0 (resp +/-)
2) X(t=0)=0

En tout cas merci !