Equadiff avec serie entiere

[Daewin]

Bonjour,

je cherche à résoudre une équation avec les série entières.
j'ai commencé mais ne parviens pas à terminer, si qqn pouvait me débloquer.

(x²-2x)y''(x) + 5(x-1)y'(x) + 3y(x) = 0

avec y(1)=7 et y'(1)=3

alors j'ai:

y(x)=

y'(x)= k

y''(x)= k(k-1)

en remplaçant dans l'équation initiale:

(x²-2x) k(k-1) + 5(x-1) k + 3
= (x²-2x) k(k-1) + 5(x-1) k + 3
= 0

voilà où je bloque, il y a des sommes commençant avec k=0,1,2 et et x à la puissance k-2, k-1, k ...

qu'elle serait l'étape suivante ?

[arnaud32]

fais des changements d'indices pour avoir uniquement des sommes de x^k apres tu pourras identifier.

[Daewin]

j'ai oublié de développer ^^

j'ai donc après avoir développé:

= (x²-2x) k(k-1) + 5(x-1) k + 3

= k(k-1) - 2 k(k-1) + 5 k - 5 k +

alors pour les changements d'indices que tu me dit de faire:

je prend m=k-1:

-2 k(k-1) = -2 (m+1)(m) =
-2 (k+1)(k)

et

-5 k =
-5 (m+1) =
-5 (k+1)

d'où:

k(k-1) - 2 (k+1)(k)
+ 5 k - 5 (k+1) +

[JeanJ]

Développe complètement l'expression, ce qui de donne cinq Sigma avec aucun x devant eux.
Ensuitek fait des changements d'indices pour que le terme général de chaque Sigma soit à la même puissance de x.
Par exemple, si dans l'un des Sigma tu as x^(k-1), fait le changement k=K+1
Finalement regroupe dans un seul Sigma tous les termes en x^K

[Daewin]

c'est correct mon changement d'indices ?

lorsque je vais regrouper les termes en x^K (x^m ici) et ceux en x^k, j'aurai deux partie c'est normal ?

[Daewin]

j'aurai si je regroupe:

[ + 5 + 3 ] + [ - 5 - 2 ] =
[ + 5 + 3 ] - [ 5 + 2 ]
= 0

[Daewin]

et ensuite ? si ce que j'ai écrit est bon bien sur :)

[dibeteriou]

Un conseil : pose , ce qui donne des calculs plus simples.

[Daewin]

@dibeteriou: je ne vois pas trop où tu veux que je l'utilise

[JeanJ]

Les x^k doivent être dans les Sigma, surtout pas devant !!!
Ensuite, débrouille toi comme tu veux, mais tous les Sigma doivent avoir le même indice (noté : k ou K ou m, comme tu veux) mais îl ne doit y avoir qu'une seule notation, pas de mélanges. Et tous les Sigma doivent être avec x^(la même puissance pour tous).

[Daewin]

a alors comment regrouper dans un seul Sigma tous les termes en x^k ?

[Daewin]

d'accord si j'ai bien compris, je dois mettre tout à la puissance k cad remplacer m par k (sans rien modifier d'autre?) et ensuite comment faire pour avoir un sigma en commun ? je développe ceux qui commence par 0 et 1 pour avoir un gros Sigma qui commence par k=2 ?

[JeanJ]

Oui c'est cela. On met à part :
- d'une part des termes constants
- d'autre part les termes en x.
- et ensuite un sigma qui commence par les termes en x²
Puisque le polynôme à droite du signe égal est nul, cela donne les équations :
somme des termes constants = 0.
somme des coefficients des termes en x = 0.
Et finalement relation de récurrence :
somme des coefficients des termes en x^k = 0

[JeanJ]

Bonjour,

pour information (puisque ce n'est pas ce qui est demandé), la résolution analytique de cette EDO est possible avec un nombre fini de fonctions usuelles.
Une première famille de solutions peut être vue directement :
y = c/[x²-2x]^(3/2)
[ il s'agit de valeur absolue de x²-2x ]
Ensuite, en posant : y = z/[x²-2x]^(3/2) on arrive à l'équation suivante :
(x²-2x)z''-(x-1)z'=0
qui s'intègre assez facilement : z' = C.[x²-2x]^(1/2)
L'intégration de cette fonction donne z(x) et finalement la solution générale y(x)

[Daewin]

après avoir trouvé en fonction de

à quoi vont me servir mes conditions initiales y(1)=7 y'(1)=3 ?

[JeanJ]

En principe, la relation entre A_n et A_(n+1) premet de calculer tous les coefficients, au détail près qu'il restera deux constantes indéterminées dans l'expression de y(x).
Il faut donc deux données supplémentaires pour que la fonction y(x) soit complètement déterminée. Dans le cas présent c'est ce à quoi servent les valeurs numériques de y(1) et y'(1)

[Daewin]

je ne comprends pas bien.
j'ai posé au début y(x)=
et trouvé

cela voudrait dire que:
y(1)= = = 7
et
y'(1)= = 3

En principe, la relation entre A_n et A_(n+1) premet de calculer tous les coefficients, au détail près qu'il restera deux constantes indéterminées dans l'expression de y(x).
Il faut donc deux données supplémentaires pour que la fonction y(x) soit complètement déterminée. Dans le cas présent c'est ce à quoi servent les valeurs numériques de y(1) et y'(1)

je ne vois pas quelles sont les constantes indéterminées et comment on va les trouver avec les CI ?

[JeanJ]

As-tu essayé de trouver la formule de A_k , non pas en fonction de A_(k-1) ce qui est déjà fait, mais en fonction de A_0 ou de A_1 ?

[Daewin]

euh non :soupir2: j'avoue avoir sécher dessus. comment fait-on ?

j'ai et

[girdav]

Bonjour,
je n'ai pas suivi le calcul depuis le début mais si on a la relation alors on a puis on fait le produit de tout cela, par exemple pour allant de à . Ça doit s'arranger à coup de factorielle.