Régularité d'une fct réciproque

[bernard06]

Bonjour à tous
Est-ce quelqu'un pourrait m aider pour le pb suivant.
Si j ai une fct g de R --> R qui est une bijection de classe Ck.

Comment montrer que l'inverse de g est de classe Ck?

Merci d avance

[Ben314]

Salut,
Y'a un théorème assez costaud qui te "vend" ça, à condition de supposer que f' ne s'annule pas sur R.

En fait, pour la preuve, il suffit de montrer que, si f est dérivable sur un intervalle I et que f' ne s'annule pas sur I alors f est une bijection de I sur l'intervalle J=f(I), sa bijection réciproque est dérivable sur J et, pour tout y de J, .
Ça, ça se démontre en revenant à la définition de la dérivée et en utilisant le fait que la réciproque d'une fonction bijective et continue sur un intervalle est elle même continue.

Ensuite, partant de , tu montre trés façilement (par récurence) que, si f est de classe C^n alors aussi

[bernard06]

Merci beaucoup. En fait ça se démontre par récurrence à partir de la formule de la dérivée d une fct réciproque.
Je vais essayer de le faire.