[MPSI] Régularité / Élément neutre

[Euler07]

Bonjour,

Dans un exercice on demande :

Soit * une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E et a un élément régulier de E. Montrer que E possède un neutre.

Mon résolution est elle bonne ?

J'ai pris l'application f de E dans E qui à x associe a*x. Elle est injective (a est régulier à gauche). Et comme on est dans E un ensemble fini, alors f est bijective.
Mais bon ça reste vague et permet pas de conclure :triste:

:livre:

[gdlrdc]

Un bon candidat est l'élément e tel que a.e=a ( il existe par bijection de ta fonction f).
Reste plus qu'à vérifier que e.a=a et que e.k=k.e=k pour les autres éléments k de E.

[bend]

Bonjour,

Dans un exercice on demande :

Soit * une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E et a un élément régulier de E. Montrer que E possède un neutre.

Mon résolution est elle bonne ?

J'ai pris l'application f de E dans E qui à x associe a*x. Elle est injective (a est régulier à gauche). Et comme on est dans E un ensemble fini, alors f est bijective.
Mais bon ça reste vague et permet pas de conclure :triste:

:livre:

Bonjour,

a- t'as déjà montré que l'application f est bijective donc effectivement tu peux conclure qu'il existe un unique élément e de E tel que

pareil avec un application tu peux montrer

b- pour conclure pour tout x de E, l'application f est bijective alors utilise l'unicité d'un y de E , puis introduit le « e » (n'oublie pas de montionner que * est associative), pour conclure

cordialement

[gdlrdc]

Pourquoi introduire f' ?

On sait que ae=a:
a.e.a=a.a donc ea=a comme a est régulier à gauche
aek=ak donc ek=k comme a est régulier à gauche
kea=ka donc ke=k comme a est régulier à droite

[Euler07]

A merci à vous deux en effet. Je vous montre la correction de l'exercice que j'ai fini par regarder (le principe reste le même)



:livre: