Réels

[pluie2]

Bonsoir , j'ai un DS prochainement et j'aimerais m’entraîner avec cet exercice :

Pour tout entier n naturel, on définit l'ensemble de réels : E_n= {k+n/k, k entier naturel non nul}.

a) Montrer que E_n admet une borne inférieure et que Inf (E_n)=Inf {k+n/k} pour k allant de 1 à n.
b) Montrer que pour tout entier n strictement positif, Inf (E_n)>= racine de 4n. Dans quel cas a t-on l'égalité ?

Je n'arrive pas démarrer. Si E_n admet une borne inférieure, alorsE_n est minoré ?

Merci de m'aider à résoudre cet exercice

[jlb]

Bonsoir, étudie les variations de f:x-->x+n/x pour x réel positif, tu trouveras où chercher ton inf et des infos sur sa valeur.

[pluie2]

d'accord :

a) Donc je pose f(x)=x+n/x soit f'(x)=1+(-n)/x²=(x²-n)/x². C'est le n qui me gène pour trouver le inf

[jlb]

dresse le tableau de variation de f en fonction de ton n pour x appartenant à R+, tu verras que ton ensemble est minoré par f(racine de n). Que tu calculeras pour avoir la réponse de la question suivante
Une partie non vide de R minorée admet une borne inf

[pluie2]

dans ce cas là je devrais plus écrire f(n)=(n²-n)/n² ?

désolé j'ai du mal à visualiser le tableau que je dois faire

[jlb]

la variable c'est x, ton n tu fais comme si c'était un nombre 11,12 ou n'importe quoi d'entier!

le x² est toujours positif et le signe de x²-n=(x-racineden)(x+racineden) est positif pour x dans ]-inf,-racde n] (on s'en fiche ici) ou dans [rac(n),+inf[ là cela nous intéresse ( enfin toi surtout!!!)

et est négatif pour x dans ]-rac(n),0] on s'en fiche ou]0,rac(n)] là, c'est intéressant

tu as donc un tableau
0 rac(n) + inf
|| - 0 +

[pluie2]

donc la fonction admet un minimum pour x= rac (n) qui correspond au inf.

[jlb]

la fonction admet un minimum mais tu dois voir si c'est ton inf ou non car dans ton cas tu regardes pour x entier ( si rac(n) est un entier soit n est un carré c'est OK sinon le min de ton ensemble est obtenu pour partieentierede racine de n ou partie entière de (racine de n) + 1 : tu dois comparer f(E(rac(n)) et f(E(rac(n))+1) quand n n'est pas un carré) mais à vrai tu n'as pas besoin de cela compte tenu de l'énoncé.

[pluie2]

ok donc concretement ça donne :

f([racn])=[racn]+n/[racn]= [n]+n)/[racn]
f([racn]+1)=[racn]+1+n/([racn]+1)

[jlb]

ok donc concretement ça donne :

f([racn])=[racn]+n/[racn]= [n]+n)/[racn]
f([racn]+1)=[racn]+1+n/([racn]+1)

en fait d'après l'énoncé, tu calcules plutôt f(rac(n)=rac(n)+n/rac(n)=rac(n)+rac(n)=2rac(n)=rac(4n) et tu dis que c'est le min de ton ensmble quand n est un carré sinon cette valeur est un minorant et le min est à rechercher dans les valeurs que tu as calculé mais je ne pense pas que cela te soit demandé dans l'énoncé

[pluie2]

d'accord et donc la b) comme rac (4n) est un minorant donc le inf est le plus grand de tous les minorants soit inf > rac 4n

[jlb]

d'accord et donc la b) comme rac (4n) est un minorant donc le inf est le plus grand de tous les minorants soit inf > rac 4n

ou égal quand n est un carré

[pluie2]

ok merci beaucoup pour votre aider !

[pluie2]

pour votre * aide