Définir un complexe comme couple de réels?

[Bizarre]

Bonsoir,

Tout ou presque est dans le titre. Dans plusieurs bouquins, et dans le cours d'exo7 également, "Un nombre complexe est un couple (a,b);)R^2 que l’on notera a+ib" : que pensez-vous de cette définition?

Je vois bien que c'est très pratique pour voir la construction géométrique qui s'ensuit, mais quelle est la cohérence :/? On arrive pas avec cette définition à des choses comme R^2 inclus dans le corps des complexes, ou l'inclusion réciproque?

Merci

[Cauchy2010]

Salut,

je t'invite à lire ce document :nombre complexe très intéressant pour une bonne compréhension de l'origine de ta question.

[Bizarre]

Salut,

je t'invite à lire ce document :nombre complexe très intéressant pour une bonne compréhension de l'origine de ta question.

J'ai déjà lu l'article. Merci quand même

[Cauchy2010]

En quoi cette notation t'embarrasse t-elle alors ?

[Bizarre]

En quoi cette notation t'embarrasse t-elle alors ?

Eh bien, l'idée qu'un complexe soit un couple de réels alors que R C au sens strict, ça me gêne :/ Comment un complexe peut être un couple de réels Oo? Qu'on associe un complexe z à couple (a,b) de deux réels d'accord, mais que le complexe soit ce couple (a,b) :mur: ?

[bolza]

Bonsoir,

disons que un réels "r" est un complexe "de partie imaginaire nul" i.e r = r + i.0.

Pour des raisons de clarté, on affiche jamais le i * 0, en fait à r on fait correspondre le couple (r,0).
Un nombre complexe est bien composé d'une paire de nombre : La partie réel, et la partie imaginaire.
Si r est un réels, alors r vu comme un complexe est un nombre qui a pour partie réel r et pour partie imaginaire 0.
En fait par abus de langage, on identifie souvent l'ensemble des (r,0) avec R.
Et ce n'est pas grave, puisque de toutes façon les deux sont isomorphes.
Et C est bien un R-espace vectoriel de dimension 2 (i.e isomorphe à R²).

En espérant que cela apporte quelques éclaircissements ^^

[Robot]

Si tu y réfléchis bien, les nombres rationnels sont définis comme des classes d'équivalence de couples d'entiers relatifs. Et les réels, par exemple, comme classe d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Ca n'empêche pas d'avoir, modulo les identifications convenables, . Alors, identifier un réel au couple pour avoir , c'est un petit problème en comparaison !

[Pseuda]

Eh bien, l'idée qu'un complexe soit un couple de réels alors que R C au sens strict, ça me gêne :/ Comment un complexe peut être un couple de réels Oo? Qu'on associe un complexe z à couple (a,b) de deux réels d'accord, mais que le complexe soit ce couple (a,b) :mur: ?

On définit sur R² 2 opérations : l'addition et la multiplication telles que : (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) et (a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc), et on constate en identifiant (a,b) à a+ib, que ces 2 opérations donnent les mêmes résultats que les 2 opérations d'addition et de multiplication dans C, et qu'elles confèrent à R² et C une structure de corps, avec (0,0) équiv à 0, (1,0) équiv à 1, (0,1) équiv à i, équivalents des opposés et des inverses ?, etc..., ainsi que d'espaces vectoriels sur R ( de dimension 2).

[Cauchy2010]

Salut,
c'est la définition que je recherchais, car c'est comme cela que j'ai été "initié" aux nombres complexes. Et que penses tu alors de cette relation remarquable : ?
Étonnant, non ?

[Robot]

Tout ceci ne répond pas au souci de Bizarre, que je comprends : un réel n'est pas un couple de réels et donc, si l'on définit comme muni des lois de composition que tout le monde connaît, alors n'est pas un sous-ensemble de .
Mais s'identifie à un sous-corps de par , on s'en contente et modulo cette identification on considère comme sous-corps de .
J'ai rappelé à Bizarre que c'est la situation habituelle pour la construction des ensembles de nombres : n'est pas un sous-ensemble de si on construit comme ensemble de classes d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels : un nombre rationnel n'est pas une classe d'équivalence de suite de Cauchy de nombres rationnels, mais on identifie le nombre rationnel à la classe d'équivalence de la suite constante de façon à identifier à un sous-corps de .

[zygomatique]

salut

Robot ::

mais les suites et et ... sont équivalentes et font de chaque élément de Q une classe d'équivalence donc un élément de R donc que Q est un sous-ensemble de R, non ?

[Mikihisa]

Bah en fait, même Q C R, Z C R etx...

Un nombre rationnel c'est une classe d'équivalence de couple d'entiers naturel

Un nbrz réel c'est une classe d'équivalence de suite rationnel.

L'inclusion se fait par l'existence d'un morphisme injectif entre 2 structure.

Quand a l'entier naturel, ce n'est pas un ensemble....

[Robot]

salut
Robot ::
mais les suites et et ... sont équivalentes et font de chaque élément de Q une classe d'équivalence donc un élément de R donc que Q est un sous-ensemble de R, non ?

Les suites que tu cites sont bien évidemment dans la même classe d'équivalence (deux suites de Cauchy de rationnels sont équivalentes quand la suite des différences tend vers 0).
Quant à la deuxième partie de ta phrase, je n'en vois pas le sens.
Ou alors, tu dis qu'un nombre rationnel est la même chose qu'une classe d'équivalence (donc un ensemble) de suites de nomres rationnels ? Une patate est-elle un ensemble de suites de patates ?

Bah en fait, même Q C R, Z C R etx...
Un nombre rationnel c'est une classe d'équivalence de couple d'entiers naturel
Un nbrz réel c'est une classe d'équivalence de suite rationnel.
L'inclusion se fait par l'existence d'un morphisme injectif entre 2 structure.
Quand a l'entier naturel, ce n'est pas un ensemble....

Pas mal de contre-vérités. Un rationnel négatif n'est certainement pas représenté par un couple d'entiers naturels. Un morphisme injectif n'a aucune raison d'être une inclusion. Et un entier est bien sûr un ensemble dans ZF : est l'ensemble vide et est l'ensemble .

[Bizarre]

Merci pour vos réponses à tous, je suis un peu rassuré de constater que je ne suis pas le seul à avoir quelques interrogations sur le sujet!

[Mikihisa]

Je voulais dire entier relatif évidement,

Je n'esti jamais dit qu'un morphisme était une inclusion, mais comme un isomorphisme symbolise moralement une égalité, un morphisme injectif symbolise moralement une inclusion. D'ailleurs je ne faisait que dire que le morphisme injectif dont il question permet de justifier l'abus de dire "Z C Q"

Et enfin je n'aime pas cette construction des entier naturel. Qu'est-ce qui différentie {0} de {x} de {€} ou encore de {vide} ?
Il est plus judicieux je trouve de désigner par 1 la classe de tous ces ensemble, qui ont la particularité d'avoir un seul élément.

[Mikihisa]

D'ailleurs pour les rationnel ce n'est pas bon plus un couple entier relatif, mais un relatif et naturel strictement positif.

[Ben314]

...on constate en identifiant (a,b) à a+ib, ...

Juste une mini remarque : ça ne me semble pas très malin "d'identifier" (a,b) a a+ib, en particulier du fait que le "i" là dedans, c'est quoi ?
A mon sens, une fois qu'on a montré que le sous corps de C=R² (*) correspondant aux éléments de la forme (x,0) est isomorphe à R, on identifie le réel x avec le complexe (x,0), puis on pose (définition) i=(0,1) et on obtient naturellement (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0).(0,1)=x+y.i

(*) Oui, oui, avec ce point de vue la, on a bien C=R² qui est une vraie égalité. Mais personnellement je préfère la définition des complexes avec des matrice 2x2, vu qu'elle évite de "sortir d'un chapeau" la multiplication (donc en particulier la fastidieuse preuve de l'associativité de la multiplication)

[Robot]

je n'aime pas cette construction des entiers naturels. Qu'est-ce qui différencie {0} de {x} de {€} ou encore de {vide} ?
Il est plus judicieux je trouve de désigner par 1 la classe de tous ces ensembles, qui ont la particularité d'avoir un seul élément.

Tu n'aimes peut-être pas, mais c'est beaucoup plus raisonnable que ce que tu écris : la classe des singletons n'est pas un ensemble, donc tu es mal barré.
La description des entiers de von Neuman que j'ai rappelée présente l'avantage que est bien un ensemble à éléments, et elle se généralise aussi en une construction des nombres ordinaux.

[Pseuda]

Juste une mini remarque : ça ne me semble pas très malin "d'identifier" (a,b) a a+ib, en particulier du fait que le "i" là dedans, c'est quoi ?

Ouh là, je précise : Il est supposé que C et R² ont déjà été définis préalablement avec leurs opérations (C défini dans le secondaire comme l'ensemble des nombres a+ib avec i²=-1), et je fais l'analogie pour Bizarre (qui a dû partir de cette définition) entre C et R² pour montrer que ces "nombres" se comportent de la même façon. Pour cela, il faut bien préciser les opérations qui sont faites sur ces nombres, sinon cela n'a pas de sens d'appareiller ces 2 ensembles.

Mais cette définition à partir des matrices n'est pas la demande de Bizarre...

[Mikihisa]

Tu n'aimes peut-être pas, mais c'est beaucoup plus raisonnable que ce que tu écris : la classe des singletons n'est pas un ensemble, donc tu es mal barré.
La description des entiers de von Neuman que j'ai rappelée présente l'avantage que est bien un ensemble à éléments, et elle se généralise aussi en une construction des nombres ordinaux.

---> et le cardinal de l'entier n, considérer comme ensemble, c'est lui même. C'est a juste titre qu'on se demande en quoi ce choix est alors pertinent. Pourquoi lui est pas un autre ?
Alors certes vous me répondrez : parceque qu'on part du vide, et que les seuls ensemble que l'on peut construire a partir de cet unique objet : vide sont :
{vide}, {{vide},vide}, {{{vide},vide},vide} etc.....
Mais de la a considérer "que c'est la seul construction raisonnable" ..... D'autant que ça va un peu a l'encontre de la nature morale du nombre entier, c'est a dire une quantité.

Toujours moralement parlant, le nombre 3 est bien la quantité d'objet que l'on trouve dans l'ensemble {{{vide},vide},vide} et pas l'ensemble lui même. Mes objections sont toutafé fondées.